\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit der Gleichung
\[f(x)=\frac{x}{2+\sin x}\]
\begin{enumerate}
\item Beweisen Sie, dass $f$ f"ur alle $x\in\RR$ definiert ist.
\item Erstellen Sie eine Wertetabelle in ganzzahligen Schritten und zeichnen
  Sie den Grafen von $f$ im $x$-Intervall $[0\,;\,10]$. Entnehmen Sie der
  Zeichnung, wie viele Nullstellen die Ableitungsfunktion $f'$ in diesem
  Intervall hat. 
\item Berechnen Sie die Ableitung $f'$ von $f$.
\item Berechnen Sie die Nullstelle von $f'$ in der N"ahe von $x_{0}=5$ mit dem
  Newton-Verfahren auf Taschenrechnergenauigkeit.
 
  Unbedingt beachten: \GF{Ein Bruch ist null, wenn ...}.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $-1\leqq\sin x\leqq 1\quad\DANN\quad 1\leqq 2+\sin x\leqq 3$, d.h. der
  Nenner von $f(x)$ kann nie null werden.
\item \EPSR{5.5cm}{11rr2181}{7cm}{}{
 \PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} 
 \PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7} \PSFM{8}{8} \PSFM{10}{10} 
}{
  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c}
  $x$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
  $f(x)$ & 0 & 0,352 & 0,687 & 1,40
  \end{tabular}\\

  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c}
  $x$ & 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline
  $f(x)$ & 3,22 & 4,80  & 3,49 & 2,63
  \end{tabular}\\

  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c}
  $x$ & 8 & 9 & 10 \\\hline
  $f(x)$& 2,67 & 3,73 & 6,87 
  \end{tabular}\\

  Zwei waagrechte Tangenten, d.h. zwei Nullstellen von $f'$.
}
\item $\D f'(x)=\frac{2+\sin x-x\cos x}{(2+\sin x)^{2}}$
\item $\D f'(x)=0\quad\DANN\quad g(x)=2+\sin x-x\cos x=0$\\[1mm]
  $\D g'(x)=\cos x-(\cos x+x(-\sin x))=x\sin x$\\[1mm]
  $\D x_{k+1}=x_{k}-\frac{g(x_{k})}{g'(x_{k})}=
      x_{k}-\frac{2+\sin x_{k}-x_{k}\cos x_{k}}{x_{k}\sin x_{k}}$\\[1mm]
  $x_{0}=5$, $x_{1}=4{,}921321169$, $x_{2}=4{,}921526621$, 
  $x_{3}=4{,}921526621$
\end{enumerate}
}
