\ANG{
{\bf Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung}\\
Zur numerischen Bestimmung von Nullstellen der Funktion $f(x)$ wird,
ausgehend von einem Startwert $x_0$, iterativ folgendes Rezept angewendet:\\
Zun"achst wird die Tangente $t_i(x)$ an den Graphen von $f$ im Punkt
$(x_i|f(x_{i})$ betrachtet.
S$_{i+1}(x_{i+1}|0)$ ist der Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse.
\begin{enumerate}
\item Geben Sie die Gleichung der Tangente $t_i(x)$ an.
\item Bestimmen Sie den Schnittpunkt $(x_{i+1}|0)$ von $t_i(x)$ und der x-Achse.
\item Geben Sie f"ur folgende Funktionen die Iterationsvorschrift an und
berechnen Sie die ersten 5 Werte der Iteration f"ur den Startwert $x_0=1$.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2-3x+2{,}25$
\item $f(x)=x^2-x+0{,}25$
\item $f(x)=x^3-x-4$
\item $f(x)=x^3-x^2-4$
\item $f(x)=x^4+x^2-4$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Hinweis: Das Newton-Verfahren konvergiert, wenn $f(x)$ in einem Intervall
$[a,b]$ das die Nullstelle enth"alt zweimal stetig
differenzierbar mit $f'(x)\not =0\not =f''(x)$ ist und\\
$f$ streng monoton wachsend und $f'$ monoton wachsend ist\\
oder\\
$f$ streng monoton fallend und $f'$ monoton fallend ist.

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $t_i(x)=f'(x_i)(x-x_i)+f(x_i)$
\item $f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)+f(x_i)=0\Rightarrow x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$
\item 
\begin{enumerate}
\item $x_{i+1}=x_i-\frac{x_i^2-3x_i+2{,}25}{2x_i-3}$\\
$x_1=1{,}25$, $x_2=1{,}375$, $x_3=1{,}4375$,\\ $x_4=1{,}46875$, $x_5=1{,}484375$
\item $x_{i+1}=x_i-\frac{x^2-x+0{,}25}{2x-1}$\\
$x_1=0{,}75$, $x_2=0{,}625$, $x_3=0{,}5625$,\\ $x_4=0{,}53125$, $x_5=0{,}515625$
\item $x_{i+1}=x_i-\frac{x_i^3-x_i-4}{3x_i^2-1}$\\
$x_1=3$, $x_2=2{,}230769$, $x_3=1{,}881119$,\\ $x_4=1{,}800478$, $x_5=1{,}796333$
\item $x_{i+1}=x_i-\frac{x_i^3-x_i^2-4}{3x_i^2-2x}$\\
$x_1=5$, $x_2=3{,}523077$, $x_3=2{,}618256$,\\ $x_4=2{,}155509$, $x_5=2{,}01334$
\item $x_{i+1}=x_i-\frac{x_i^4+x_i^2-4}{4x_i^3+2x_i}$\\
$x_1=1{,}333333$, $x_2=1{,}256098$, $x_3=1{,}249663$,\\ $x_4=1{,}249621$, $x_5=1{,}249621$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
