\ANG{
Suchen Sie eine Rekursionsformel zur Berechnung von $x=\sqrt[n]{a}$!\\
Berechnen Sie damit $x=\sqrt[7]{100}$ mit einem geeigneten ganzzahligen
Startwert!\\

}
\LSG{
$\D x=\sqrt[n]{a}\quad\GENAUDANN\quad f(x)=x^{n}-a=0$\\[2mm]
Newtonverfahren: $\D x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}=
\frac{1}{n}\cdot\left[(n-1)\,x_{k}+\frac{a}{x_{k}^{n-1}}\right]$\\[2mm]
F"ur $n=7$ und $a=100$:\quad $\D x_{k+1}=
\frac{1}{7}\cdot\left[6\,x_{k}+\frac{100}{x_{k}^{6}}\right]$
\[\begin{array}{lllllll}
x_{0}&=&2&\quad,\quad&x_{3}&=&1{,}930697737\\
x_{1}&=&1{,}9375&\quad,\quad&x_{4}&=&1{,}930697729\\
x_{2}&=&1{,}930768956&\quad,\quad&x_{5}&=&1{,}930697729
\end{array}\]
}