\ANG{
\begin{enumerate}
\item Zeichnen Sie den Graphen und berechnen Sie dann mit dem
  Newtonverfahren die Nullstelle sowie die Stelle mit waagrechter Tangente der
  Funktion 
  \[f(x)=x^2-\sqrt{x}-1\quad.\]
\item Durch Umformen folgt aus $\,f(x)=0\,$ die Gleichung $\,g(x)=0\,$ mit
\[g(x)=x^4-2\,x^2-x+1\]
Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das schon vorhandene Koordinatensystem und
versuchen Sie diejenige Nullstelle von $g$, die der Nullstelle von $f$
entspricht,  mit dem Newtonverfahren (Startwert $x_0=1$) zu
berechnen! Suchen Sie eine Erkl"arung f"ur das Scheitern dieses Vorhabens und
wenden Sie das Newtonverfahren noch einmal mit $x_0=1{,}5$ an!
\end{enumerate}

}
\LSG{
Newtonverfahren f"ur $f$:\quad $\D x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}=
x_{k}-\frac{x_{k}^{2}-\sqrt{x_{k}}-1}{2\,x_{k}-\frac{1}{2\,\sqrt{x_{k}}}}$
\\[2mm]
\[\begin{array}{|lllllll|}\hline
x_{0}&=&1{,}000000000&\quad,\quad&x_{3}&=&1{,}490267918\\
x_{1}&=&1{,}666666667&\quad,\quad&x_{4}&=&1{,}490216121\\
x_{2}&=&1{,}501433283&\quad,\quad&x_{5}&=&1{,}490216120\\\hline
\end{array}\]
Newtonverfahren f"ur $f'$:\quad $\D x_{k+1}=x_{k}-\frac{f'(x_{k})}{f''(x_{k})}
=x_{k}-\frac{2\,x_{k}-\frac{1}{2\,\sqrt{x_{k}}}}{2\,x_{k}}$
\\[2mm]
\[\begin{array}{|lllllll|}\hline
x_{0}&=&1{,}000000000&\quad,\quad&x_{3}&=&1{,}071600526\\
x_{1}&=&1{,}125000000&\quad,\quad&x_{4}&=&1{,}071598716\\
x_{2}&=&1{,}075418994&\quad,\quad&x_{5}&=&1{,}071598716\\\hline
\end{array}\]
Newtonverfahren f"ur $g$:\quad $\D x_{k+1}=x_{k}-\frac{g(x_{k})}{g'(x_{k})}=
x_{k}-\frac{x_{k}^{4}-2\,x_{k}^{2}-x+1}{4\,x_{k}^{3}-4\,x_{k}-1}$
\\[2mm]
\[\begin{array}{|lllllll|}\hline
x_{0}&=&1{,}000000000&\quad,\quad&x_{3}&=&0{,}000000000\\
x_{1}&=&0{,}000000000&\quad,\quad&x_{4}&=&1{,}000000000\\
x_{2}&=&1{,}000000000&\quad,\quad&x_{5}&=&0{,}000000000\\\hline
\end{array}\]
\[\begin{array}{|lllllll|}\hline
x_{0}&=&1{,}500000000&\quad,\quad&x_{3}&=&0{,}490216120\\
x_{1}&=&1{,}490384615&\quad,\quad&x_{4}&=&1{,}490216120\\
x_{2}&=&1{,}490216171&&&&\\\hline
\end{array}\]
}
