\ANG{
Zeichnen Sie den Graphen und berechnen Sie dann die Nullstellen
der Funktion
\[f(x)=x^3-3\,x^2+4\]
mit dem Newtonverfahren. Warum zieht sich das Verfahren bei einer der
Nullstellen sehr in die L"ange?

}
\LSG{
Newtonverfahren f"ur $f$:\quad $\D x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}=
x_{k}-\frac{x_{k}^{3}-3\,x_{k}^{2}+4}{3\,x_{k}^{2}-6\,x_{k}}$
\\[2mm]
\[\begin{array}{|lllllll|}\hline
x_{0}&=&-2{,}000000000&\quad,\quad&x_{3}&=&-1{,}001949932\\
x_{1}&=&-1{,}333333333&\quad,\quad&x_{4}&=&-1{,}000002528\\
x_{2}&=&-1{,}055555556&\quad,\quad&x_{5}&=&-1{,}000000000\\\hline
\end{array}\]
\[\begin{array}{|lllllll|}\hline
x_{0}&=&1{,}000000000&\quad,\quad&x_{3}&=&1{,}924408746\\
x_{1}&=&1{,}666666667&\quad,\quad&...&=&...\\
x_{2}&=&1{,}844444444&\quad,\quad&x_{20}&=&1{,}999999438\\\hline
\end{array}\]
Der Grund f"ur das schlechte Funktionieren: $f'(2)=0$!!!
}
