\ANG{
Beim Newton--Verfahren erh"alt man gem"a\ss\
\[x_{n+1}=x_n-\dfrac{f\left(x_n\right)}{f^{'}\left(x_n\right)}\]
aus einer N"aherung $x_n$ f"ur die Nullstelle der Funktion $f$ eine
weitere N"aherung $x_{n+1}$.

Durch Anwenden des Newton--Verfahrens auf die Funktion $f:x\mapsto y=f\left(x\right)=x^3-2$
mit dem Startwert $x_0=2$ soll eine N"aherung f\"{u}r $\sqrt[3]{2}$ berechnet werden.

\begin{enumerate}
  \item Berechne $x_1, x_2$ und $x_3$ jeweils auf sechs Dezimalstellen nach dem Komma gerundet.
  \item Eine untere Grenze f"ur $\sqrt[3]{2}$ ist $1{,}259920$. Wie gro\ss\ ist in diesem Fall
        die prozentuale Abweichung auf zwei Dezimalstellen nach dem Komma gerundet des N"aherungswerts $x_3$ von diesem Wert?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
  \item $x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n^3-2}{3\,x_n^2}=\dfrac{2}{3}\,x_n+\dfrac{2}{3\,x_n^2}=\dfrac{2}{3}\,\left(x_n+\dfrac{1}{x_n^2}\right)$

      \begin{tabular}{|c|r|}\hline
        $i$ & $x_i$ \\\hline
        0 & 2 \\\hline
        1 & 1{,}500000 \\\hline
        2 & 1{,}296296 \\\hline
        3 & 1{,}260932 \\\hline
      \end{tabular}
  \item $\dfrac{\left|1{,}259920-1{,}260932\right|}{1{,}259920}\cdot100\%=0{,}08\%$
\end{enumerate}
}
