\ANG{
Gegeben ist die Funktion $f(x)=ax^3+bx^2$ ($\DD=\RR$, $a\not =0$, $b\not =0$).
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie allgemein die Nullstellen der Funktion.
\item Bestimmen Sie allgemein die Koordinaten der Extrema.
\item Zeichnen Sie die Funktion f"ur $a=1$ und $b=3$.
\item Zeichnen Sie f"ur $b=3$ und f"ur zehn verschiedene Werte von
$a$ die Extrema in ein Koordinatensystem ein. Was f"allt auf?
\item Beweisen Sie, dass f"ur festes $b$ und variables $a$ die Extrema
auf einer Parabel liegen.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $N_1(0|0)$, $N_2(-\frac ba|0)$
\item $f'(x)=x(3ax+2b)=0\Leftrightarrow$ $x_1=0$ oder $x_2=-\frac{2b}{3a}$\\
$f''(x)=6ax+2b\not =0$ f"ur $x_1$ und $x_2$ ($a$ und $b\not =0$!).\\
Also Extrema bei $(0|0)$ und $(-\frac{2b}{3a}|\frac{4b^3}{27a^2})$
\item
\item Extrema liegen auf einer Parabel.
\item $f(x_2)=\frac{4b^3}{27a^2}=\frac{b}{3}\cdot (-\frac{2b}{3a})^2=
\frac b3\cdot x_2^2$
\end{enumerate}
}
