\ANG{
Gegeben ist die Funktion $f(x)=ax^3+bx$ ($\DD=\RR$, $a\not =0$, $b\not =0$).
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie allgemein die Nullstellen der Funktion.
\item Bestimmen Sie allgemein die Koordinaten der Extrema.
\item Zeichnen Sie die Funktion f"ur $a=-\frac 13$ und $b=1$.
\item Zeichnen Sie f"ur $b=1$ und f"ur $a=-0{,}1,\, -0{,}2,\,...\, -0{,}9$
die Extrema in ein Koordinatensystem ein. Was f"allt auf?
\item Beweisen Sie, dass f"ur festes $b$ und variables $a$ die Extrema
auf einer Ursprungsgeraden liegen.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $N_1(0|0)$, $N_2\left(\sqrt{-\frac ba}\,\Big|\,0\right)$
\item $f'(x)=3ax^2+b=0\Leftrightarrow$ $x=\sqrt{-\frac{b}{3a}}$\\
$f''(x)=6ax$ $\Rightarrow$ $f''\left(\sqrt{-\frac{b}{3a}}\right)\not =0$.\\
Also Extrema bei $\left(\sqrt{-\frac{b}{3a}}\,\Big|\,\frac 23b\sqrt{-\frac{b}{3a}}\right)$.
\item
\item Extrema liegen auf einer Geraden.
\item $f(x_{\rm Max})=\sqrt{-\frac{b}{3a}}(-\frac b3+b)=\frac 23b\cdot x_{\rm Max}$
\end{enumerate}
}
