\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit der Gleichung
\[f(x)=\frac{x^{2}}{4x-8}\]
\begin{enumerate}
\item Gib die maximale Definitionsmenge $\DD_{f}$ und die
  Nullstellen von $f$ an. Beweise durch eine ausf"uhrliche Rechnung, dass $f$
  auch in der Form
\[f(x)=\frac14 x+\frac12+\frac{1}{x-2}\]
dargestellt werden kann.
\item Untersuche das Verhalten von $f$ an den R"andern von $\DD_{f}$. Wie lauten
  die Gleichungen der Asymptoten?
\item Berechne die erste Ableitung $f'$ von $f$ und die Nullstellen von $f'$.
\item Zeichne den Grafen von $f$ und die Asymptoten im $x$-Intervall $[-3;7]$.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \parbox[t]{7cm}{$\D\DD_{f}=\RR\OHNE\{2\}$, Nullstelle: $x_{0}=0$
\begin{small}\[\polylongdiv[style=C]{x^{2}}{4*x-8}\]\end{small}
}\hfill\rule[-40mm]{0.15mm}{43mm}\quad(b)
\parbox[t]{6.0cm}{$\D\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=
  \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{4-\frac 8x}=\pm\infty$
\begin{multline*}
\lim_{x\to 2^{\pm}}f(x)=\lim_{h\to 0^{+}}f(2\pm h)=\\
  =1+\lim_{h\to 0^{+}}\frac{1}{2\pm h-2}=\pm\infty
\end{multline*} 
schr"age Asympt.: $\D y=\frac14 x+\frac12$\\[2mm]
Senkrechte Asympt.: $x=2$
}
\item[(c)] $\D f'(x)=\frac{2x(4x-8)-x^{2}\cdot 4}{(4x-8)^{2}}=
\frac{4x^{2}-16x}{(4x-8)^{2}}=\frac{4x(x-4)}{16(x-2)^{2}}=
\frac{x(x-4)}{4(x-2)^{2}}$\\[2mm]
$\D f'(x)=0\QDQ x_{11}=0,\quad x_{12}=4$
\item[(d)] \EPSR{6.5cm}{11rr2391}{7cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{-3}{$\!\!\!\!\!-3$} 
\PSFM{-2}{$\!\!\!\!\!-2$} \PSFM{-1}{$\!\!\!\!\!-1$} 
\PSFM{0}{} 
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6} \PSFM{7}{} 
}
{
\begin{tabular}[t]{r|r}
  $x$ & $f(x)$ \\\hline
$-3{,}0$   & $-0{,}450$\\
$-2{,}0$   & $-0{,}250$ \\
$-1{,}0$   & $-0{,}08\overline{3}$\\
0,0   & 0,000\\
1,0   & $-0{,}250$\\
1,5  & $-1{,}125$
\end{tabular}\quad
\begin{tabular}[t]{r|r}
  $x$ & $f(x)$ \\\hline
2,5  & 3,125\\
3,0   & 2,250\\
4,0  & 2,000\\
5,0   & $2{,}08\overline{3}$ \\
6,0   & 2,250\\
7,0   & 2,450
\end{tabular}
}
\end{enumerate}
}
