\ANG{
Untersuche die Funktion $f$ mit
\[f(x)=\frac{x^{2}-4x+4}{x-3}\]
auf maximale Definitionsmenge, Nullstellen, Verhalten an den
R"andern von $\DD_{f}$, Extremwerte und Wendepunkte. Zeichne den Grafen von $f$
und eventuelle Asymptoten im Intervall $[-1;7]$. 
} 
\LSG{
$\D f(x)=\frac{x^{2}-4x+4}{x-3}=\frac{(x-2)^2}{x-3}$,\quad
$\DD_f=\RR\OHNE\{3\}$,\quad Nullstelle bei $x_0=2$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-4+\frac x4}{1-\frac 3x}=
\pm\infty$\quad
$\D\lim_{x\to 3^\pm}f(x)=\left(\frac{1}{0^\pm}\right)=\pm\infty$\\[2mm]
Polynomdivision $\D\DANN\quad f(x)=x-1+\frac{1}{x-3}\QDQ$
Asymptote: $a: x\to x-1$\\[2mm]
$\D f'(x)=\frac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}$\\[2mm]
$\D f'(x)=0\QDQ x_{11}=2,\quad x_{12}=4$\\[2mm]
Da $x^2-6x+8$ eine nach oben ge"offnete Parabel ist, gilt
$f'(x)>0$ f"ur $x<2$ und $x>4$ sowie $f'(x)<0$ f"ur $2<x<3$ und $3<x<4$.
$f$ ist also streng steigend in $]-\infty;2[$ und in $]4;+\infty[$ und streng fallend in 
$]2;3[$ und $]3;4[\QDQ$
Hochpunkt bei $\EPUNKT{H}{2}{0}$ und 
Tiefpunkt bei $\EPUNKT{T}{4}{4}$.
\EPSC{11rr2581}{10cm}{}{
\PSFM{-4}{$-4$} \PSFM{-3}{$-3$} \PSFM{-2}{$-2$} \PSFM{-1}{$-1$}
\PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} 
\PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7}\PSFM{8}{8} \PSFM{9}{9} \PSFM{10}{10}  
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}  
}
}
