\ANG{
Der Graf der Funktion $f$ mit $f(x)=\ln x$ wird in einem Koordinatensystem mit
der Einheit 1\, cm auf beiden Achsen gezeichnet.
\begin{enumerate}
\item Berechne die H"ohe $h$ des Grafen "uber der $x$-Achse, wenn wir uns in der
  Entfernung $a$ rechts vom Ursprung befinden:
  \begin{itemize}
  \item $a=40\,000\,\text{km}$ (Erdumfang)
  \item $a=1{,}5\cdot 10^{8}\,\text{km}$ (Entfernung zur Sonne)
  \item $a=1\,\text{LJ}$ ($1\,\text{LJ}$ (Lichtjahr) ist die Strecke, die das Licht mit
    der Geschwindigkeit $c=3\cdot 10^{8}\,\RFRAC{m}{s}$ in einem Jahr zur"ucklegt)
  \item $a=3\cdot 10^{10}\,\text{LJ}$ (ungef"ahrer Durchmesser des sichtbaren Universums)
  \end{itemize}
\item In welcher Entfernung $a$ rechts vom Ursprung hat der Graf von $f$ die
  H"ohe $h=1\,\text{m}$? Vergleiche mit dem Durchmesser des
      sichtbaren Universums.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Mit $\D x=\frac{a}{\text{cm}}$ folgt\rule[-5mm]{0mm}{13mm}
  \begin{itemize}
  \item $\D x=\frac{40\,000\,\text{km}}{\text{cm}}=4\cdot 10^{9}\QDQ
           h=1\,\text{cm}\cdot\ln x=22{,}1\,\text{cm}$\rule[-4mm]{0mm}{12mm} 
  \item $\D x=\frac{1{,}5\cdot 10^{8}\,\text{km}}{\text{cm}}=1{,}5\cdot 10^{13}\QDQ
           h=1\,\text{cm}\cdot\ln x=30{,}3\,\text{cm}$\rule[-4mm]{0mm}{12mm} 
  \item $\D 1\,\text{LJ}=3\cdot 10^{8}\,\RFRAC{m}{s}\cdot 365{,}25\cdot
    24\cdot 3600\,\text{s}=9{,}47\cdot 10^{15}\,\text{m}$\\[2mm]
        $\D x=\frac{1\,\text{LJ}}{\text{cm}}=9{,}47\cdot 10^{17}\QDQ
           h=1\,\text{cm}\cdot\ln x=41{,}4\,\text{cm}$\rule[-4mm]{0mm}{12mm} 
  \item $\D x=\frac{3\cdot 10^{10}\,\text{LJ}}{\text{cm}}=2{,}84\cdot 10^{28}\QDQ
           h=1\,\text{cm}\cdot\ln x=65{,}5\,\text{cm}$\rule[-4mm]{0mm}{12mm} 
  \end{itemize}
\item $x=\e^{100}=2{,}69\cdot 10^{43}\QDQ a=2{,}69\cdot 10^{41}\,\text{m}=
        2{,}84\cdot 10^{25}\,\text{LJ}$\\[2mm]
      $a$ ist ungef"ahr $10^{15}$ mal so gro"s wie der Durchmesser des
      sichtbaren Universums!
\end{enumerate}
}
