\ANG{
{\bfseries Numerische Berechnung von $\e$}\\[2mm]
In manchen Schulb"uchern wird zur numerischen Berechnung von $\e$ der
Grenzwert
\[\e=\lim_{n\to\infty}\e_{n}\quad\text{mit}\quad
\e_{n}=\left(1+\frac 1n\right)^{n}\qquad(1)\]
herangezogen und es werden mit dem Taschenrechner (TR) Werte von $\e_{n}$ f"ur
gro"se $n$ als N"aherungen f"ur $\e$ berechnet.
\begin{enumerate}
\item Verwende die Definition der Ableitung und die Forderung 
$\left(\e^{x}\right)'=\e^{x}$, um (1) herzuleiten.
\item Um z.B. $\e_{100}=1{,}01^{100}$ zu berechnen, muss man nicht 99 mal
  multiplizieren, sondern es gen"ugen acht Multiplikationen, wenn man
  geschickt rechnet:
\[x^{100}=\left(x^{50}\right)^{2}=\left(\left(x^{24}\cdot
    x\right)^{2}\right)^{2}=
\left(\left(\left(\left(\left(x^{2}\cdot
          x\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\cdot x\right)^{2}\right)^{2}
\]
Vergleiche mit der Dualdarstellung des Exponenten ($100=(1100100)_{2}$)
und formuliere eine Regel, wie man daraus die schnelle Potenzberechnung
erh"alt (QM-Algorithmus f"ur Quadrieren-Multiplizieren).
\item Wie viele Multiplikationen sind n"otig, um $\e_{n}$ mit $n=10^{6}$ zu
  berechnen? Berechne jetzt $\e_{n}$ f"ur $n=10^{6}$ mit unserer neuen Methode
  und vergleiche mit dem TR-Ergebnis bei direkter Eingabe des Terms 
  $\D 1{,}000\,001^{1\,000\,000}$.
\item Intern rechnet der TR mit mehr Stellen, als er im Ergebnis
  anzeigt. Ermittle die interne Genauigkeit deines TRs durch die Berechnung
  von $\e_{n}$ f"ur $n=10^{9}$, $n=10^{10}$ usw.

\begin{small} Das Ergebnis der Berechnung von $\e_{n}$ mit $n=10^{10}$, einmal mit dem
  QM-Algorithmus und einmal durch Eintippen des Terms f"ur $\e_{n}$, kann sich,
  abh"angig von der internen Genauigkeit des Rechners, in den letzten Stellen
  unterscheiden. Das ist ein Hinweis darauf, dass der TR Potenzen nicht mit
  dem QM-Algorithmus berechnet.
\end{small}
\item Zur genauen und schnellen Berechnung von $\e$ verwendet man 
\[e=\lim_{n\to \infty}E_{n}\quad\text{mit}\quad E_{n}=
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=1+1+\frac 12+\frac{1}{6}+\,...\,+\frac{1}{n!}\]
F"ur welches $n$ ist der relative Fehler
\[\delta_{\text{rel}}=\frac{E_{n}-\e}{\e}<10^{-9}\,?\]
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Definition der Ableitung:
\[\left(\e^{x}\right)'=\lim_{h\to 0}\frac{\e^{x+h}-\e^{x}}{h}=
\e^{x}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\left(\e^{h}-1\right)}{h}=\e^{x}\quad\DANN\]
\[\lim_{h\to 0}\frac{\e^{h}-1}{h}=1\QDQ
  \frac{\e^{h}-1}{h}\approx 1\text{ f"ur }|h|\ll 1\]
\[\e\approx\left(1+h\right)^{\frac 1h}\text{ f"ur }|h|\ll 1\]
Mit der Substitution $\D h=\frac 1n$ folgt aus $h\to 0^{+}$, 
dass $n\to\infty$ und damit
\[\e=\lim_{h\to 0^{+}}\left(1+h\right)^{\frac 1h}=
  \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1n\right)^{n}\] 
\item Berechnung von $x^{n}$ mit $n=(1...01...)_{2}$:\\[2mm]
  \begin{tabular}[t]{lll}
    Erste Ziffer (immer 1)&:& $x$ hinschreiben\\
    Jede der folgenden Ziffern&:& (Q) Quadrieren, wenn 0\\
                               && (QM) Quadrieren und mit $x$ Multiplizieren, wenn 1
  \end{tabular}\\

Beginnend mit der zweiten Ziffer der Dualdarstellung des Exponenten bedeutet
jede Null eine und jede Eins zwei Multiplikationen.\\
 
F"ur $x^{100}$ ergibt sich: QMQQQMQQ
\item $\D 10^{6}=(1111\,0100\,0010\,0100\,0000)_{2}\QDQ 25$
  Multiplikationen\\[2mm]
Mit $x=1{,}000\,001$ und QMQMQMQQMQQQQQMQQQMQQQQQQ folgt

$\e_{n}=2{,}718280469$ genauso wie bei der direkten Eingabe des Terms 
$\D 1{,}000\,001^{1\,000\,000}$.
\item Zeigt der Rechner z.B. bei $n=10^{13}$ noch das Ergebnis $2{,}71828...$,
  bei $n=10^{14}$ aber das Ergebnis 1, dann stellt er intern
  $1+10^{-13}=1{,}000\,000\,000\,000\,1$ noch richtig dar, $1+10^{-14}$ wird
  aber auf 1 gerundet: intern 14 geltende Ziffern.
\item \parbox[t]{7cm}{
Man rechnet rekursiv:
\[E_{n+1}=E_{n}+\frac{1}{(n+1)!}\]
\[\delta_{\text{rel}}=\frac{E_{n}}{e}-1\]
}\hfill
  \begin{tabular}[t]{r|l|l}
$n$ & $E_{n}$ & $\delta_{\text{rel}}$\\\hline
0 & 1{,}0 & $-6{,}321205588\cdot 10^{-1}$\\
1 & 2{,}0 & $-2{,}642411177\cdot 10^{-1}$\\
2 & 2{,}5 & $-8{,}030139707\cdot 10^{-2}$\\
3 & 2{,}666666667 & $-1{,}898815688\cdot 10^{-2}$\\
4 & 2{,}708333333 & $-3{,}659846827\cdot 10^{-3}$\\
5 & 2{,}716666667 & $-5{,}941848176\cdot 10^{-4}$\\
6 & 2{,}718055556 & $-8{,}324114929\cdot 10^{-5}$\\
7 & 2{,}718253968 & $-1{,}024919667\cdot 10^{-5}$\\
8 & 2{,}71827877 & $-1{,}125202598\cdot 10^{-6}$\\
9 & 2{,}718281526 & $-1{,}114254783\cdot 10^{-7}$\\
10 & 2{,}718281801 & $-1{,}004776638\cdot 10^{-8}$\\
11 & 2{,}718281826 & $-8{,}316107427\cdot 10^{-10}$
  \end{tabular}
\end{enumerate}
}
