\ANG{
\EPSR{8cm}{11rr2501}{6cm}{}{
\PSFM{d}{$d$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{Wp}{$W_{\text{p}}$} 
\PSFM{W0}{$W_{0}$} \PSFM{m}{$m$} \PSFM{v}{$v$} 
}{\parfillskip0pt
Ein K"orper der Masse $m$ und der Geschwindigkeit $v$ (also mit der
kinetischen Energie $W=\frac{m}{2}v^{2}$) bewegt sich auf eine Potentialbarriere
der Breite $d$ und der H"ohe $W_{0}$ zu. Nach der klassischen Physik kann der
K"orper f"ur $W<W_{0}$ die Barriere nicht "uberwinden und wird
reflektiert. Die Quantenmechanik lehrt aber, dass der K"orper auch f"ur
$W<W_{0}$
}\\[1mm]
die Barriere mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit $T$
({\em Transmissionswahrscheinlichkeit}) "uberwinden kann ({\em Tunneleffekt}).
Dabei gilt
\[
T=\frac{\gamma}{e^{2\,\alpha\,d}+e^{-2\,\alpha\,d}+\gamma-2}\]
mit
\[\gamma=16\cdot\frac{W}{W_{0}}\cdot\left(1-\frac{W}{W_{0}}\right)
\text{ und }\alpha = \frac{2\pi}{h}\cdot\sqrt{2\,m\,(W_{0}-W)},\]
wobei $h=6{,}626\cdot 10^{-34}\,\text{Js}$ die Planckkonstante ist.
\begin{enumerate}
\item Berechne die Transmissionswahrscheinlichkeit f"ur ein Elektron 
mit der Masse $m=9{,}11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ und der kinetischen Energie 
$W=3\,\text{eV}$ ($1\,\text{eV}=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{J}$), das gegen
eine Barriere der H"ohe $W_0=5\,\text{eV}$ und der 
Breite $d=10^{-10}\,\text{m}$ anl"auft.
\item \EPSR{8cm}{11rr2502}{5cm}{}{
\PSFM{d}{$d$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{Wp}{$W_{\text{p}}$} 
\PSFM{W0}{$W_{0}$} \PSFM{m}{$m$} \PSFM{v}{$v$} 
}{%\parfillskip0pt
Eine Kugel der Masse $m=0{,}1\,\text{g}$ bewegt sich in einem Gef"a"s mit
$v=2\,\RFRAC{cm}{s}$ hin und her, die H"ohe des Gef"a"ses ist 
$y=2\,\text{cm}$, die Wandst"arke $d=2\,$mm ($W_{0}=mgy$). Berechne die Transmissionswahrscheinlichkeit
$T$ f"ur die Kugel. Wie lang ist die ausgeschriebene Zahl $T$ zwischen Komma
und der ersten Ziffer ungleich null, wenn pro Ziffer 0,5\,cm gebraucht werden?
}
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\alpha=\frac{2\pi}{6{,}626\cdot 10^{-34}\,\text{Js}}\cdot
\sqrt{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}\cdot 2\cdot 
1{,}0\cdot 10^{-19}\,\text{J}}=7{,}247\cdot 10^9\,\RFRAC{1}{m}$
\[2\alpha d=1{,}449\text{ und }\gamma=3{,}84\QDQ T=0{,}606=60{,}6\%\]
\item $\D W_0=mgy=10^{-4}\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\RFRAC{N}{kg}\cdot 0{,}02\,\text{m}=
1{,}962\cdot 10^{-5}\,\text{J}$\\[2mm]
$\D W=\frac m2 v^2=5\cdot 10^{-5}\,\text{kg}\cdot\left(0{,}02\,\RFRAC{m}{2}\right)^2=
2\cdot 10^{-8}\,\text{J}$
\[\alpha=\frac{2\pi}{6{,}626\cdot 10^{-34}\,\text{Js}}\cdot
\sqrt{2\cdot 10^{-4}\,\text{kg}\cdot 
1{,}96\cdot 10^{-5}\,\text{J}}=5{,}94\cdot 10^{29}\,\RFRAC{1}{m}\]
\[k = 2\alpha d=2{,}377\cdot 10^{27}\text{ und }\gamma=0{,}0163\]
Die letzten drei Summanden im Nenner von $T$ kann man vernachl"assigen:
\[T=\frac{\gamma}{\e^k}=\gamma\e^{-k}\]
Wegen
\[\e=\e^{\frac{\ln 10}{\ln 10}}=10^{\frac{1}{\ln 10}}\]
gilt
\[T=\gamma\cdot10^{-\frac{k}{\ln 10}}=10^{\lg\gamma-\frac{k}{\ln 10}}=
10^{-1{,}03\cdot 10^{27}}\]
Also $1{,}03\cdot 10^{27}$ Nullen zwischen Komma
und der ersten Ziffer ungleich null, mit der L"ange
\[L=5\cdot 10^{27}\,\text{cm}=5\cdot 10^{25}\,\text{m}=5{,}3\cdot 10^9\,\text{LJ}\]
Die Kugel m"usste ungef"ahr $\D\frac 1T=10^{10^{27}}$-mal an die Gef"a"swand sto"sen,
um einmal zu tunneln.
\end{enumerate}
}
