\ANG{
\EPSR{9cm}{11rr2931}{4cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{b}{$b$} \PSFM{h}{$h$} 
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{}{} 
}{
Ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basisl"ange $2x$ und den
Schenkell"angen $b$ wird aus einem Draht der L"ange $L$ gebogen,
d.h. $2x+2b=L$. 
}\\

\begin{enumerate}
\item Beweise f"ur die Dreiecksfl"ache $A$ die Beziehung
\[A(x)=\frac{\sqrt{L}}{2}\sqrt{Lx^{2}-4x^{3}}\]
\item Berechne $x=x_{0}$ so, dass $A(x_{0})$ die maximale Dreiecksfl"ache
ist. Untersuche, um welches besondere Dreieck es sich im Fall $x=x_{0}$
handelt.
\item Dr"ucke die maximale Fl"ache $A(x_{0})$ durch $L$ aus und vereinfache so
  weit wie m"oglich.
%\item Welche Definitionsmenge ist aus geometrischen Gr"unden f"ur $A(x)$
%  sinnvoll? Zeichne den Grafen von $A$ f"ur $L=9$. 
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D b=\frac{L}{2}-x\QDQ h=\sqrt{b^{2}-x^{2}}=
\sqrt{\left(\frac{L}{2}-x\right)^{2}-x^{2}}=\sqrt{\frac{L^{2}}{4}-Lx}$
\[A(x)=\frac 12\cdot 2x\cdot h=
x\sqrt{\frac{L}{4}\left(L-4x\right)}=
\frac{\sqrt{L}}{2}\sqrt{x^{2}\left(L-4x\right)}=
\frac{\sqrt{L}}{2}\sqrt{Lx^{2}-4x^{3}}\]
\item $A(x)$ ist maximal, wenn der Radikand $f(x)=Lx^{2}-4x^{3}$ maximal ist.
\[f'(x)=2Lx-12x^{2}=2x(L-6x)\]
\[f'(x)=0\QDQ x_{1}=0\text{ oder }x_{2}=\frac{L}{6}\] 
\[f''(x)=2L-24x\QDQ\]
\[f''(x_{1})=2L>0\text{ (Minimum)},\qquad 
f''(x_{2})=2L-\frac{24L}{6}=-2L<0\text{ (Maximum)}\]
Also: $\D x_{0}=\frac{L}{6}$.

Aus $x=x_{0}$ folgt $\D b=\frac{L}{2}-\frac{L}{6}=\frac{L}{3}$ und 
$\D 2x=\frac{L}{3}$, d.h. das Dreieck ist gleichseitig.
\item 
\begin{align*}
A(x_{0}) &= \frac{\sqrt{L}}{2}\sqrt{Lx_{0}^{2}-4x_{0}^{3}}=
\frac{\sqrt{L}}{2}\sqrt{x_{0}^{2}(L-4x_{0})}=\\
 &= \frac{\sqrt{L}}{2}\sqrt{\frac{L^{2}}{6^{2}}\left(L-\frac{4L}{6}\right)}=
\frac{\sqrt{L}}{2}\cdot\frac{L}{6}\sqrt{\frac{L}{3}}=
\frac{L^{2}}{12\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{36}\,L^{2}
\end{align*}
%\item \EPSR{5cm}{11rr2932}{6cm}{}{
%\PSFM{1}{1}
%}{
%
%}
\end{enumerate}
}
