\ANG{
F"ur den Bauherrn einer kleinen Fabrikhalle stellt sich die Frage nach der
Wirtschaftlichkeit einer W"armed"ammung. Die gesamte zu isolierende
Au"senfl"ache ist $A=500\,\mathrm{m^{2}}$, der Quadratmeterpreis einer D"ammplatte
der Dicke $1\,\text{cm}$ wird mit 
\[\alpha=0{,}8\,\RFRAC{\text{\EUR}}{m^{2}\cdot cm}\]
angegeben, das Verlegen von einem Quadratmeter kostet 50\,\EUR. 
Weil der Gesamtpreis f"ur die D"ammung "uber einen Kredit finanziert wird,
muss dieser Preis noch mit 1,5 Multipliziert werden um die gesamten
anfallenden Kosten f"ur die D"ammung zu erhalten.
Wenn die ganze
Fl"ache $A$ mit einer D"ammung der Dicke 
$d=x\,\text{cm}$ versehen ist, betr"agt der Energieverlust pro
$\mathrm{m^{2}}$ Au"senfl"ache und pro Jahr
\[\frac{\Delta W}{A\cdot\Delta t}=\frac{\beta}{\frac 13+\frac x2}
\quad\text{mit}\quad\beta=100\,\RFRAC{kWh}{m^{2}\cdot a}\] 
Die Halle soll $\Delta t=20\,\text{a}$ lang genutzt und mit "Ol beheizt
werden. 
Ein Liter Heiz"ol liefert die Energie $10\,\text{kWh}$ und soll 1{,}20\,\EUR{}
kosten (Mittelwert f"ur die n"achsten 20 Jahre). Mit $k(x)$ bezeichnen wir den
Term f"ur die gesamten Energiekosten in 
den zwanzig Jahren (W"armed"ammung plus Heizkosten).
\begin{enumerate}
\item Beweise mit begr"undeten Ans"atzen:
\[k(x)=p+qx+\frac{r}{\frac 13+\frac x2}\quad\text{mit}\quad
p=37\,500\,\MEUR,\quad q=600\,\MEUR,\quad r=120\,000\,\MEUR\]
\item Berechne die Dicke $x_{0}$ der D"ammung, f"ur die $k(x)$ minimal wird.
Rechne bis zum Ergebnis mit den allgemeinen Gr"o"sen $p$, $q$ und $r$. 
\item Die D"ammplatten gibt es nur in geradzahligen Werten von $x$. Ermittle
  die g"unstigste existierende D"ammst"arke $x_{1}$. Um wieviel Prozent ist
  $k(x_{1})$ kleiner als die Gesamtkosten $k(0)$ ohne D"ammung? 
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Preis f"ur die D"ammung: 
$k_{1}(x)=50\,\frac{\MEUR}{\mathrm{m^{2}}}\cdot A\cdot 1{,}5+\alpha\cdot x\cdot A\cdot 1{,}5=
37\,500\,\MEUR+600\,\MEUR\cdot x$\\[2mm]
"Olmenge in Litern: $\D m=\frac{\Delta W}{10\,\text{kWh}}=
\frac{\beta A\Delta t}{10\,\text{kWh}}\cdot\frac{1}{\frac 13+\frac x2}=
\frac{10^{5}\,\text{l}}{\frac 13+\frac x2}$\\[2mm]
"Olpreis: $\D k_{2}(x)=m\cdot 1{,}2\frac{\MEUR}{\text{l}}=
\frac{120\,000\,\MEUR}{\frac 13+\frac x2}\QDQ$
\[k(x)=k_{1}(x)+k_{2}(x)=37\,500\,\MEUR+600\,\MEUR\cdot x+
\frac{120\,000\,\MEUR}{\frac 13+\frac x2}\]
\item Umformen von $k$: $\D k(x)=p+qx+\frac{6r}{2+3x}\QDQ$
\[k'(x)=q-\frac{6r\cdot 3}{(2+3x)^{2}}=0\QDQ 
x=x_{0}=-\frac 23\PNM\frac 13\sqrt{\frac{18r}{q}}=
-\frac 23+\sqrt{\frac{2r}{q}}\]
\[x_{0}=-\frac 23+\sqrt{\frac{2\cdot 120\,000\,\MEUR}{600\,\MEUR}}=
-\frac 23+20=19\frac 13\]
\item $k(18)=61\,157{,}14\,\MEUR$, $k(20)=61\,112{,}90\,\MEUR$, 
$k(0)=397\,500{,}00\,\MEUR$
\[\frac{k(20)}{k(0)}=0{,}154=15{,}4\%\QDQ\text{um }84{,}6\%\text{ kleiner}\]
\end{enumerate}
}




