\ANG{
{\bf Die optimale Dose}
\begin{enumerate}
\item Aus Metall soll eine zylindrische Dose mit einem vorgegebenem
Volumen $V$ hergestellt werden. F"ur welchen Radius ist der Materialverbrauch
minimal?\\
F"ur die Rechnung soll der Materialverbrauch f"ur Falze unber"ucksichtigt bleiben.
\item  Aus Metall soll eine zylindrische Dose mit einer vorgegebenen
Oberfl"ache $A$ hergestellt. F"ur welchen Radius ist das Volumen maximal?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $V=r^2\pi h\Rightarrow h(r)=\frac{V}{r^2\pi}\Rightarrow
A(r)=2r^2\pi+\frac{2V}{r}$\\
$A'(r)=0\Leftrightarrow r=\root 3\of{\frac{V}{2\pi}}$.\\
Da $A(0)=\infty$ und $\displaystyle\lim_{r\rightarrow\infty} A(r)=\infty$ handelt es sich
hierbei um ein Minimum.
\item $A=2r\pi(r+h)\Rightarrow h(r)=\frac{A}{2r\pi}-r\Rightarrow
V(r)=\frac12Ar-r^3\pi$\\
$V'(r)=0\Leftrightarrow r=\sqrt{\frac{A}{6\pi}}$.\\ Aus einer Grenzwertbetrachtung
von $V(r)$ schlie"st man auf ein Maximum.
\end{enumerate}
}
