\ANG{
Aus einem rechteckigem St"uck Karton der Seitenl"angen $a$ und $b$ soll eine
quaderf"ormige Schachtel mit der H"ohe $x$ hergestellt werden.
\begin{enumerate}
\item Dr"ucken Sie das Volumen der Schachtel durch $x$ aus. Bei der Rechnung
soll die f"ur Klebelaschen ben"otigte Fl"ache unber"ucksichtigt bleiben.
\item F"ur welche H"ohe $x$ ist das Volumen der Schachtel maximal?
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $V(x)=x(a-2x)(b-2x)=abx-2(a+b)x^2+4x^3$
\item $V'(x)=12x^2-4(a+b)x+ab=0\Leftrightarrow\\
x_1=\frac 16(a+b+\sqrt{a^2+b^2-ab})$ oder
$x_2=\frac 16(a+b-\sqrt{a^2+b^2-ab})$\\
$V''(x)=-4(a+b)+24x\Rightarrow$\\
$V''(x_1)=4\sqrt{a^2+b^2-ab}>0\Rightarrow$ Minimum bei $x_1$\\
$V''(x_2)=-4\sqrt{a^2+b^2-ab}<0 \Rightarrow$ Maximum bei $x_2$.
\end{enumerate}
}
