\ANG{
Mit dem Tr"opfchenmodell zur Beschreibung eines Atomkerns l"a"st sich
die Bindungsenergie des Kerns in Abh"angigkeit von der Neutronenzahl $N$
und der Protonenzahl $Z$ berechnen. F"ur die Bindungsenergie erh"alt man:
$$W(Z,N)=(m_pZ+m_nN)\ c^2-6\varepsilon A+6\varepsilon A^{2/3}+
\beta\frac{Z^2}{A^{\frac13}}+\eta\frac{(A-2Z)^2}{A} $$
\begin{enumerate}
\item Geben Sie die Bindungsenergie f"ur feste Nukleonenzahl $A=Z+N$ an.
\item F"ur welche Protonenzahl ist bei fester Nukleonenzahl $A$ die
Bindungsenergie mininal? Verwenden Sie dazu $\alpha=(m_n-m_p)\ c^2=0{,}78\,$MeV,
$\beta=0{,}639\,$MeV und $\eta=21{,}7\,$MeV.
\item Vergleichen Sie das in (b) erhaltene Ergebnis mit der einfachen
Annahme, dass sich in einem Atomkern etwa gleich viele Protonen und Neutronen
befinden.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $W(Z)=(m_p-m_n)c^2Z+m_nAc^2-6\varepsilon A+6\varepsilon A^{\frac 23}
+\beta\frac{Z^2}{A^{\frac 13}}+\eta\frac{(A-2Z)^2}{A}$
\item $W'(Z)=-\alpha+Z\left(\frac{2\beta}{A^{\frac 13}}+\frac{8\eta}{A}\right)-4\eta\Rightarrow$\\
minimale Bindungsenergie f"ur
$$Z=\frac{A}{2}\cdot\frac{1+\frac{\alpha}{4\eta}}{1+\frac{\beta}{4\eta}A^{\frac 23}}=
\frac{A}{2}\cdot \frac{1+9\cdot 10^{-3}}{1+7{,}4\cdot 10^{-3}\cdot A^{\frac 23}}$$
\item F"ur kleine $A$ erh"alt man etwa gleich viele Neutronen und Protonen.
Je gr"o"ser $A$ ist, umso mehr weicht die Protonenzahl von $\frac A2$ ab (kleiner).\\
TIP: $Z(A)$ und $\frac A2$ mit Funktionsplotprogramm zeichnen!

\end{enumerate}
}
