\ANG{
{\bf Schwerpunkt einer Limonadendose}
\begin{enumerate}
\item Wo liegt der Schwerpunkt einer vollen und einer leeren Dose?
\item Bis zu welcher H"ohe muss man die Dose austrinken, damit der Schwerpunkt
m"oglichst niedrig liegt und daher die Dose am besten stehen bleibt.
\item Welcher Wert ergibt sich f"ur die Schwerpunktsh"ohe, wenn die Dose eine H"ohe von $16\,$cm
und eine Masse von $100\,$g hat. Die ganze Limonade soll eine Masse von $500\,$g
haben.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Schwerpunkt jeweils bei $\frac H2$ ($H$: Dosenh"ohe)
\item $$S(h)=\frac{m_D\frac H2+m_L\frac hH\frac h2}{m_D+m_L\frac hH}=
\frac{m_DH^2+m_Lh^2}{2m_DH+2m_Lh}$$\\
$S'(h)=0\Leftrightarrow m_Lh^2+2m_DHh-m_DH^2=0\Leftrightarrow$\\
$h=\frac 1{m_L}\left(-m_DH\pm H\sqrt{m_D(m_D+m_L)}\right)$\\
Da der Term unter der Wurzel gr"o"ser als $m_D$ ist und f"ur $h$ nur positive
Werte sinnvoll sind, folgt\\
$$h=\frac 1{m_L}\left(-m_DH+ H\sqrt{m_D(m_D+m_L)}\right)$$
\item $h=0{,}28989 H=4{,}6\,$cm
\end{enumerate}
}
