\ANG{
Bauen Kinder aus Sand zylindrische T"urme, sinken diese ab einer gewissen
H"ohe in sich zusammen. Dabei rutscht der obere Teil fast immer l"angs einer
schr"agen Fl"ache, die um $45^{\circ}$ gegen die Horizontale geneigt ist nach
unten. Wie l"a"st sich dies erkl"aren?\\
Nehmen Sie dazu an, dass f"ur das Abrutschen eine gewisse Schubspannung
$$\sigma=\frac{\mbox{Kraft parallel zur Fl"ache }
  F_{||}}{\mbox{Abrutschfl"ache }A}$$
erreicht werden muss.

}
\LSG{
Bei einem zylindrischen Turm ist eine Querschnittsfl"ache, die um den Winkel
$\phi$ gegen die Horizontale geneigt ist eine Ellipse mit der Fl"ache
$\frac{r^2\pi}{\cos\phi}$. Die Kraft parallel zur Fl"ache betr"agt $F_0\sin\phi$
($F_0$ ist die Gewichtskraft des abrutschenden Teils).\\
$\Rightarrow\sigma=\frac{F_0}{r^2\pi}\sin\phi\cos\phi$\\
$\sigma$ ist bei festem $F_0$ und $r^2\pi$ f"ur den Winkel $\phi=45^\circ$ maximal.
}
