\ANG{
\begin{enumerate}
\item Wann wird das Produkt zweier Zahlen mit konstanter Summe maximal?
\item Wann wird die Summe zweier Zahlen mit konstantem Produkt minimal?
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $a+b=c=\mathrm{konst}\DANN a\cdot b=ac-a^2=f(a)$\\
1.\ L"osungsweg: $f'(a)=c-2a=0\DANN a=\frac12c$, $f''(a)=-2<0$\\
Also: Produkt maximal f"ur $a=\frac12c$\\
2.\ L"osungsweg: $f(a)$ ist eine nach unten ge"offnete Parabel $\DANN$
$f(a)$ maximal am Scheitel $(\frac12c|\frac14c^2)$
\item $\D a\cdot b=c=\mathrm{konst}\DANN a+b=a+\frac ca=f(a)$\\[1mm]
$f'(a)=1-\frac{c}{a^2}=0\DANN a=\pm\sqrt{c}$, $\D f''(a)=2\frac{c}{a^3}$\\[1mm]
1.\ Fall: $c>0$, d.\ h.\ $a$ und $b$ haben gleiches Vorzeichen.\\
F"ur $a,b>0$ ist $f''(a)>0$ und damit erh"alt man f"ur $a=b=\sqrt{c}$ ein Minimum.
F"ur $a,b<0$ ist $f''(a)<0$ und damit erh"alt man f"ur $a=b=-\sqrt{c}$ ein Maximum.\\
2.\ Fall: $c<0$ $\DANN f'(a)>1$, also kein Extremum.
\end{enumerate}
}
