\ANG{
%key Extremwertaufgabe
\EPSR{9cm}{11rr103}{5cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{a}{$a$} \PSFM{b}{$b$} 
\PSFM{p}{$p$} \PSFM{q}{$q$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} 
}{
Zwei Kan"ale mit den Breiten $a$ und $b$ sto"sen rechtwinklig
zusammen. Wir suchen die maximale L"ange $L$, die ein Baumstamm haben
kann, damit er gerade noch {\em um die Ecke} gebracht werden kann. Wir 
rechnen mit einem idealisierten Stamm der Dicke null.
\begin{enumerate}
\item  Dr"ucken Sie $r=\overline{\mathrm{AB}}=p+q$ durch $x$ aus und
  berechnen Sie $L$.
\item Berechnen Sie $L$ speziell f"ur die F"alle $a=b$, $a\ll b$ und
  $b=2a$.
\item Zeichnen Sie $r(x)$ f"ur $a=1$ und $b=2$. Beweisen Sie
  f"ur diesen Fall, dass $g(x)= x+2$ eine Asymptote von $r(x)$ ist.  
\end{enumerate}
}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D r(x)=\left(1+\frac{b}{x}\right)\sqrt{a^{2}+x^{2}}$, 
$\D r'(x)=\frac{x^{3}-b\,a^{2}}{x^{2}\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$\\[3mm]
$\D r'(x)=0\quad\DANN\quad
x=x_{0}=a^{\frac{2}{3}}\,b^{\frac{1}{3}}$\\[3mm]
$\D r'(x)<0$ f"ur $x<x_{0}$ und $\D r'(x)>0$ f"ur $x>x_{0}\quad\DANN\quad$
rel. Min. von $r$ bei $x_{0}$.\\[3mm]
$\D L=r(x_{0})=
\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}$
\item \raisebox{9mm}{\parbox[t]{11cm}{\begin{align*}
  a=b &\quad\DANN\quad L=2\,a\,\sqrt{2}\\
  a\ll b &\quad\DANN\quad L\approx b\\
  b=2\,a &\quad\DANN\quad L\approx 4{,}16\,a
  \end{align*}}}
\item $\D r(x)=\left(1+\frac{2}{x}\right)\sqrt{1+x^{2}}=
  (x+2)\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}$\\[3mm]
  $\D\lim_{x\to\infty}[r(x)-(x+2)]=\lim_{x\to\infty}
  \left[(x+2)\cdot\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}-1\right)\right]=$\\[3mm]
  $\D =\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}-1}{
  \frac{1}{x+2}}\stackrel{\text{Hospital}}{=}\lim_{x\to\infty}\frac{(x+2)^{2}}
  {x^{3}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=0$

  \EPSC{11rr103L}{7cm}{}{}  
\end{enumerate}
}
