\ANG{
In einer Gemeinde gilt aus gestalterischen und w"armetechnischen Gr"unden 
f"ur die Ma"se eines Hauses 
folgende {\bf Verordnung} (siehe Abbildung):\\[5mm]
\EPSR{9.4cm}{11rr120}{5.0cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{h}{$h$} 
\PSFM{s}{$s$} \PSFM{g}{$g$}  
}{
\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{\parbox[t]{9cm}{\bf 
$V$ sei das Volumen des Hauses (umbauter Raum ohne Keller) und $A$ die 
gesamte Oberfl"ache einschlie"slich Dach aber {\it\bfseries ohne} die
Grundfl"ache. Die Breite $x$, die Wandh"ohe $h$, die Giebelh"ohe $g$
und die L"ange $y$ m"ussen so gew"ahlt werden, dass
\[g=\frac{3}{8}\cdot x\quad;\quad h=\frac{5}{8}\cdot x\]
und $A$ bei gegebenem $V$ minimal ist.
}}\setlength{\fboxsep}{3pt}}\\

\begin{enumerate}
\item Dr"ucken Sie $V$ durch $x$ und $y$ aus und l"osen Sie das
  Ergebnis nach $V$ auf. Dr"ucken Sie $s$ durch $x$ aus und beweisen
  Sie dann mit einer detaillierten Rechnung folgende Beziehung:
  \[A(x)=\frac{13}{8}\cdot x^2+\frac{40\,V}{13\,x}\]
\item F"ur welches $x$, ausgedr"uckt durch $V$, ist die Bauordnung
  erf"ullt? Nachweis der Art des Extremums nicht vergessen! Berechnen
  Sie auch das Verh"altnis\quad $\D k=\frac{y}{x}$\quad f"ur ein Haus,
  das den Forderungen der Bauordnung gen"ugt. 
\item Berechnen Sie $x$, $y$, $h$ und $g$ f"ur ein der Bauordnung
  gen"ugendes Haus mit dem Volumen $V=540{,}8\,$m$^3$ 
  und zeichnen Sie die Vorderfront des Hauses im Ma"sstab $1\,:\,200$.
\end{enumerate}
  
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D V=\frac{13}{16}\,x^{2}y$,\quad 
  $\D y=\frac{16\,V}{13\,x^{2}}$,\quad 
  $\D s=\frac{5}{8}\,x$\\
\item $\D A'(x)=\frac{13}{4}\,x-\frac{40\,V}{13\,x^{2}}$\\[2mm] 
  $\D A'(x)=0\quad\DANN\quad x=\sqrt[3]{\frac{160\,V}{169}}$,\quad    
  $\D k=\frac{y}{x}=\frac{13}{10}$\\
\item  $x=8\,$m, $y=10{,}4\,$m, $h=5\,$m und $g=3\,$m 
\end{enumerate}
}
