\ANG{
Wir betrachten alle m"oglichen Quader mit den Kantenl"angen $x$, $y$
und $z$ und dem konstanten Volumen $V$. Gesucht ist der Quader mit der 
kleinsten Oberfl"ache.
\begin{enumerate}
\item Dr"ucken Sie die Oberfl"ache $A$ eines Quaders durch $x$, $y$
  und $V$ aus. 
\item $A$ kann als Funktion von $x$ mit dem Parameter $y$ aufgefasst
  werden, d.h. $A=A_{y}(x)$. F"ur welches $x=x_{y}$ ist $A_{y}(x)$
  minimal? 
\item Die Funktion $F(y)$ ist definiert durch
  $F(y)=A_{y}(x_{y})$. $F(y)$ ist also die Oberfl"ache des Quaders mit 
  der Kante $y$, dessen Oberfl"ache minimal ist. Den Quader mit der
  insgesamt kleinsten Oberfl"ache bei gegebenem Volumen $V$ findet man
  durch Minimieren von $F$. Um welchen Quader handelt es sich dabei? 
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D A_{y}(x)=2\,\left[x\,y+\frac{V}{y}+\frac{V}{x}\right]$
\item $\D A_{y}'(x)=2\,\left[y-\frac{V}{x^{2}}\right]=0\quad\DANN\quad 
   x_{y}=\sqrt{\frac{V}{y}}$
\item $\D F(y)=A_{y}(x_{y})=2\,\left[2\,\sqrt{V}\sqrt{y}+\frac{V}{y}\right]$\\[2mm]
  $\D F'(y)=2\,\left[\frac{\sqrt{V}}{\sqrt{y}}-\frac{V}{y^{2}}\right]=0
   \quad\DANN\quad y=\sqrt[3]{V}$\\[2mm]  
  Damit gilt auch $\D x=x_{y}=\sqrt[3]{V}$ und $\D z=\frac{V}{xy}=\sqrt[3]{V}$, W"urfel!!  
\end{enumerate}
}