\ANG{
\begin{enumerate}
\item $g=f^{-1}$ ist die Umkehrfunktion von $f$. Benutze die Beziehung 
\[f\circ g(x)=f(g(x))=x,\] 
um die Ableitungsregel f"ur die Umkehrfunktion zu
beweisen.
\item Es sei $f(x)=\cos x$ mit $\DD_{f}=[0;\pi]$. Mit $g(x)=\arccos x$ wird
  die Umkehrfunktion von $f$ bezeichnet. Berechne die Ableitung von $g$.
\item Es sei $f(x)=\tan x$ mit 
  $\DD_{f}=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$. Mit $g(x)=\arctan x$ wird
  die Umkehrfunktion von $f$ bezeichnet. Berechne die Ableitung von $g$.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\left[f(g(x))\right]'=f'(g(x))\cdot g'(x)=1\QDQ
g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$
\item $\D(\arccos x)'=\frac{1}{-\sin(\arccos x)}=
\frac{1}{-\sqrt{1-\cos^{2}(\arccos x)}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
\item $\D\left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^{2}x}\QDQ$\\[2mm]
$\D\tan^{2}x=\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1-\cos^{2}x}{\cos^{2}x}=
\frac{1}{\cos^{2}x}-1\QDQ\cos^{2}x=\frac{1}{1+\tan^{2}x}$\\[2mm]
$\D\left(\arctan x\right)'=\cos^{2}(\arctan x)=
  \frac{1}{1+\tan^{2}(\arctan x)}=\frac{1}{1+x^{2}}$
\end{enumerate}
}
