\ANG{
Gew"ohnliche Zykloiden sind Kurven, die dadurch entstehen, dass ein Kreis
auf einer Gerade abrollt. Die Koordinaten eines festen Punktes P
lassen sich durch folgende Parameterdarstellung beschreiben:
$$x=r(t-\sin t),\ y=r(1-\cos t),\ t\in \RR$$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $t$ die Gr"o"se des W"alzwinkels im
Bogenma"s. $t$ kann aber ebenso als \GF{dimensionslose} Zeit betrachtet werden.

\begin{enumerate}
\item Geben Sie die Koordinaten des obersten Punktes O des Kreises in Abh"angigkeit von $t$ an.
\item Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Punktes P in x- und
y-Richtung. Berechnen Sie daraus Betrag und Richtung der
Gesamtgeschwindigkeit von P.
\item Berechnen Sie die Steigung der Tangente an die Zykloide in Abh"angigkeit
von $t$. Nutzen sie dazu aus, dass die Geschwindigkeit des Punktes P immer
tangential zur Zykloide verl"auft.\\
Berechnen Sie f"ur $t=10^{\circ}, 20^{\circ}, 30^{\circ}...$ den
Steigungswinkel $\varphi$ der Tangente im Gradma"s und stellen Sie einem
Zusammhang zwischen $t$ und $\varphi$ her.\\
Begr"unden Sie den gefundenen Zusammenhang.
\item Geben Sie die Tangente an die Zykloide in Abh"angigkeit von $t$ an.
\item Zeigen Sie, dass die Tangente stets den obersten Punkt des Kreises
enth"alt.
\item Geben Sie die Gleichung der Tangente $T^{*}(x)$ durch den Punkt zum
Parameterwert $t^{*}=t+\pi$ an und zeigen Sie, dass die Tangente an die
Zykloide stets senkrecht auf $T(x)$ steht.
\item Begr"unden Sie, warum $T^{*}(x)$ ebenfalls durch den obersten Punkt
des Kreises f"ur $t^{*}$ geht.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $O(rt|2r)$
\item $v_x=r(1-\cos t)$, $v_y=r\sin t$, $v=\sqrt{2ry}$
\item $\phi=90^{\circ} -\frac{t}{2}$\\
$$\tan(\phi)=m=\frac{\sin t}{1-\cos t}=
\frac{2\sin\frac t2\cos\frac t2}{2\sin^2\frac t2}=\frac 1{\tan\frac t2}=\tan(90^{\circ}-\frac t2)$$
\item $T(x)=r(1-\cos t)+\tan(90^{\circ} -\frac{t}{2})(x-r(t-\sin t))$
\item $x=rt$ in $t(x)$ einsetzten liefert die Behauptung.
\item $m^{*}=-\tan\frac{t}{2}=-\frac 1m$
\item $T^{*}$ geht aus $T(x)$ durch die Substitution $t\rightarrow t+\pi$ hervor.
Setzt man nun in $T^{*}(x)$\ $x=rt-\pi$ ein erh"alt man nat"urlich den gleichen Wert,
wie wenn man in $T(x)$ direkt $rt$ einsetzt. Dies hat aber gerade den obersten
Punkt des Kreises geliefert.
\end{enumerate}
}


