\ANG{
\begin{enumerate}
\item Gegeben sind die Geraden 
  \[g_1:\,y=g_1(x)=-s\,x+r\quad\mbox{und}\quad g_2:\,y=g_2(x)=s\,x+r\]
  P$_n(?|n)$ sind Punkte auf $g_{1}$ und Q$_n(?|-n)$ Punkte auf $g_{2}$. 
  Die Geraden\\ $t_{n}={\rm P}_n{\rm Q}_n$ sind Tangenten an den Graphen
  einer Funktion $f$. Veranschaulichen Sie den Sachverhalt, indem Sie
  $g_1$, $g_2$ und $t_n$ mit $n\in\{\pm 1,\,\pm 2,\, ...\,\pm 7\}$
  f"ur $r=12$ und $s=4$ in ein Koordinatensystem zeichnen.   
\item Stellen Sie, jetzt wieder in allgemeinen Gr"o"sen, die Gleichung
  von $t_n$ auf.     
\item Der Zeichnung nach k"onnte der Graph von $f$ eine nach unten
  ge"offnete Parabel sein: $f(x)=a\,x^{2}$. $T_{x_{0}}$ sei die Tangente an
  den Graphen von $f$ im Punkt $(x_{0}|f(x_{0}))$. Stellen Sie die
  Gleichung von $T_{x_{0}}$ auf. 
\item Wenn unsere Vermutung stimmt, dann m"ussen die beiden
  Funktionenscharen $t_{n}$ und $T_{x_{0}}$ "ubereinstimmen, d.h. der
  Koeffizient bei $x$ und der konstante Term in den beiden
  Funktionsgleichungen m"ussen gleich sein. Berechnen Sie daraus die
  Konstante $a$ in der Gleichung von $f$ und dr"ucken Sie $x_{0}$ durch $n$ 
  aus!
\item B sei der Ber"uhrpunkt von $t_{n}$ mit dem Graphen von
  $f$. Dr"ucken Sie die Koordinaten von B durch $r$, $s$ und $n$ aus.
\item Jetzt wieder zu unserem konkreten Beispiel mit $r=12$ und $s=4$: 
  Berechnen Sie $a$ und zeichnen Sie den Graphen von $f$ in das schon
  vorhandene Koordinatensystem ein. In welchem Punkt B ber"uhrt $t_{4}$
  den Graphen von $f$?

\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item[(b)] $\D t_{n}:\,y=\frac{n\,s}{r}\cdot x+\frac{n^{2}}{r}$
\item[(c)] $\D T_{x_{0}}:\,y=2\,a\,x_{0}\cdot x-a\,x_{0}^{2}$
\item[(d)] $\D \frac{n\,s}{r}=2\,a\,x_{0}$\quad ,\quad 
  $\D\frac{n^{2}}{r}=-a\,x_{0}^{2}\quad\DANN\quad a=-\frac{s^{2}}{4\,r}$
  \quad ,\quad $\D x_{0}=-\frac{2\,n}{s}$
\item[(e)] $\D{\rm B}\left(-\frac{2\,n}{s}\,\Big|-\frac{n^{2}}{r}\right)$ 
\item[(f)] $\D a=-\frac{1}{3}$\quad,\quad 
  $\D{\rm B}\left(-2\,\Big|-\frac{4}{3}\right)$ 

\end{enumerate}
}
