\ANG{
Die Punkte A$(2a|f(2a))$ und B$(-a|f(-a))$ ($a\neq 0$) liegen auf dem Graphen der
Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}$. 
Die Graphen der Funktionen $t_{\rm A}$ und $t_{\rm B}$ sind die
Tangenten an G$_{f}$ in den Punkten A und B, der Graph von $n$ ist
die Normale auf G$_{f}$ im Punkt B. 
\begin{enumerate}
\item Stellen Sie die Gleichungen von $t_{\rm A}$, $t_{\rm B}$ und $n$ auf!
\item Berechnen Sie die Koordinaten $x_{\rm S}$ und $y_{\rm S}$ des
  Schnittpunktes S der beiden Tangenten.\\[1mm] 
  [Zur Kontrolle: S$\left(\,\frac{a}{2}\,\big|\,-2a^{2}\,\right)$].\\[1mm]
  Welche Kurve $g$ beschreibt der Punkt S, wenn $a$ alle reellen
  Zahlen ohne die Null durchl"auft? 
\item F"ur welches positive $a=a_{0}$ liegt A auf G$_{n}$? Zeichnen Sie
  f"ur diesen Fall die Graphen von $f$, $t_{\rm A}$, $t_{\rm B}$, $n$
  und $g$ in der Einheit $2\,$cm in {\bf ein}
  Koordinatensystem. Berechnen Sie f"ur $a=a_{0}$ die Fl"ache $F$ des
  Dreiecks BSA und den Winkel $\varphi=\sphericalangle\mathrm{ASB}$.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $t_{\rm A}(x)=4ax-4a^{2}$,\quad
      $t_{\rm B}(x)=-2ax-a^{2}$,\quad
      $\D n(x)=\frac{1}{2a}\,x+a^{2}+\frac{1}{2}$
\item S$\D\left(\,\frac{a}{2}\,\Big|\,-2a^{2}\,\right)$,\quad 
      $y_{\rm S}=-8\,x_{\rm S}^{2}$, d.h. $g(x)=-8\,x^{2}$ mit 
      $\DD_{g}=\RR\backslash\{0\}$
\item $\D a_{0}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$\quad,\quad$\EPUNKT{A}{\sqrt{2}}{2}$
      \quad,\quad$\EPUNKT{B}{-\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$\quad,\quad
      $\EPUNKT{S}{\frac{1}{4}\sqrt{2}}{-1}$\\[2mm] 
      $\D F=\frac{27}{16}\sqrt{2}$\quad,\quad 
      $\varphi=54{,}7^{\circ}$
\end{enumerate}
}
