\ANG{
Der Ort eines K"orpers wird durch $\vec{r}(t)=\RVEKTOR{c}{x(t)}{y(t)}{z(t)}$
beschrieben. Die Geschwindigkeit des K"orpers ist definiert durch
\[\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}(t)=
\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)}{\Delta t}\]
Analog definiert man $\vec{a}(t)=\dot{\vec{v}}(t)$.
\begin{enumerate}
\item
  Beweise:\qquad$\vec{v}(t)=\RVEKTOR{c}{v_{x}(t)}{v_{y}(t)}{v_{z}(t)}=
  \RVEKTOR{c}{\dot{x}(t)}{\dot{y}(t)}{\dot{z}(t)}$\quad
  und\quad $\vec{a}(t)=\RVEKTOR{c}{\dot{v}_{x}(t)}{\dot{v}_{y}(t)}{\dot{v}_{z}(t)}=
  \RVEKTOR{c}{\ddot{x}(t)}{\ddot{y}(t)}{\ddot{z}(t)}$
\item \EPSR{8cm}{11rr2761}{5cm}{}{
\PSFM{P}{P} \PSFM{fi}{$\varphi$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} 
\PSFM{r}{$\vec{r}$} \PSFM{O}{O} 
}{
Ein Punkt P bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ auf
einem Kreis mit Mittelpunkt O und Radius $r$. Zur Zeit $t_{0}=0$ befindet sich
P am Ort $(r|0)$. Der Winkel zwischen $\vec{r}$ und der $x$-Achse ist (siehe
Abb.) $\varphi(t)=\omega t$. Dr"ucke 
\[\vec{r}(t)=\EVEKTOR{c}{x(t)}{y(t)}\]
durch $r$ und $\omega$ aus und berechne dann $\vec{v}(t)$, 
$v=|\vec{v}(t)|$, $\vec{a}(t)$ und $a=|\vec{a}(t)|$. 
}
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\vec{v}(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\left(\frac{1}{\Delta t}\left[
\RVEKTOR{c}{x(t+\Delta t)}{y(t)+\Delta t}{z(t+\Delta t)}
 -\RVEKTOR{c}{x(t)}{y(t)}{z(t)}
\right]\right)=
\RVEKTOR{c}{{\D\lim_{\Delta t\to 0}}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}
{{\D\lim_{\Delta t\to 0}}\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}}
{{\D\lim_{\Delta t\to 0}}\frac{z(t+\Delta t)-z(t)}{\Delta t}}=
\RVEKTOR{c}{\dot{x}(t)}{\dot{y}(t)}{\dot{z}(t)}$

Analog beweist man die Aussage "uber $\dot{\vec{a}}(t)$.
\item $\D \vec{r}(t)=\EVEKTOR{c}{r\cos\omega t}{r\sin\omega t}=
r\EVEKTOR{c}{\cos\omega t}{\sin\omega t}$\\[2mm]
$\D \vec{v}(t)=\EVEKTOR{c}{\dot{x}(t)}{\dot{y}(t)}=
  \EVEKTOR{r}{-r\omega\sin\omega t}{r\omega\cos\omega t}=
  r\omega\EVEKTOR{r}{-\sin\omega t}{\cos\omega t}$\\[2mm]
$v=|\vec{v}(t)|=r\omega\sqrt{(-\sin\omega t)^{2}+(\cos\omega
  t)^{2}}=r\omega$\\[2mm]
$\D \vec{a}(t)=\EVEKTOR{c}{\dot{v}_{x}(t)}{\dot{v}_{y}(t)}=
  \EVEKTOR{r}{-r\omega^{2}\cos\omega t}{-r\omega^{2}\sin\omega t}=
  -r\omega^{2}\EVEKTOR{r}{\cos\omega t}{\sin\omega t}=
  -\omega^{2}\vec{r}(t)$\\[2mm]
$\D a=|\vec{a}(t)|=\omega^{2}r=\frac{\omega^{2}r^{2}}{r}=\frac{v^{2}}{r}$
\end{enumerate}
}
