\ANG{
Wird ein K"orper K unter dem Einfluss der Kraft $\vec{F}$ um $\vec{x}$
verschoben, dann wird an K die Arbeit
$W=\vec{F}\cdot\vec{x}$
verrichtet (Definition der Arbeit).
\begin{enumerate}
\item Ein K"orper K bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer
  Kreisbahn. Welche Arbeit $W$ wird w"ahrend eines Umlaufs von der
  Zentripetalkraft an K verrichtet?
\item Ein Fu"sball bewegt sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$. Auf ihn
  wirkt die Gewichtskraft $\vec{G}$ und eine der Geschwindigkeit
  entgegengesetzte Reibungskraft mit dem Betrag $R=kv^{2}$ ($v=|\vec{v}|$).
 Leite eine m"oglichst einfache Formel f"ur
  die Leistung $P=\frac{W}{t}$ her, die am Ball verrichtet wird. Berechne $P$
  dann f"ur
\[\vec{v}=\RVEKTOR{r}{4}{20}{-5}\,\RFRAC{m}{s},\quad
  \vec{G}=\RVEKTOR{r}{0}{0}{-4}\,\text{N},\quad k=5\cdot
  10^{-3}\,\RFRAC{kg}{m}\]
Was bedeutet das Vorzeichen von $P$? Wie "andert sich dieses Vorzeichen
w"ahrend des Ballflugs?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item In einer kleinen Zeitspanne $\RMd t$ ist die Orts"anderung von K
durch $\RMd\vec{s}=\vec{v}\,\RMd t$ gegeben. In dieser Zeitspanne verrichtet 
die Zentripetalkraft $\vec{F}_{\text{z}}$ an K die Arbeit 
\[\RMd W=\vec{F}_{\text{z}}\RMd\vec{s}=\vec{F}_{\text{z}}\vec{v}\,\RMd t\]
Wegen $\vec{F}_{\text{z}}\bot\vec{v}$ ist aber $\vec{F}_{\text{z}}\vec{v}=0$, d.h.
$\RMd W=0$ und damit auch $W=0$.
\item Aus $\RMd W=\vec{F}\RMd\vec{s}$ folgt
\[P=\frac{\RMd W}{\RMd t}=\vec{F}\cdot\frac{\RMd\vec{s}}{\RMd t}=
\vec{F}\dot{\vec{s}}=\vec{F}\vec{v}\]
Die Reibungskraft zeigt in die Richtung von $-\vec{v}$ und hat den Betrag $R$:
\[\vec{R}=-\frac{\vec{v}}{v}\cdot R\QDQ
\vec{F}=\vec{G}+\vec{R}=\vec{G}-\frac{\vec{v}}{v}\cdot R=
\vec{G}-kv\vec{v}\]
\[P=\vec{F}\vec{v}=\vec{G}\vec{v}-kv\vec{v}^{2}=
\vec{G}\vec{v}-kv^{3}\]
Mit
\[v=\sqrt{4^{2}+20^{2}+5^{2}}\,\RFRAC{m}{s}=21\,\RFRAC{m}{s}\]
folgt
\[P=\RVEKTOR{r}{0}{0}{-4}\,\text{N}\cdot\RVEKTOR{r}{4}{20}{-5}\,\RFRAC{m}{s}-
5\cdot 10^{-3}\,\RFRAC{kg}{m}\cdot 21^{3}\,\RFRAC{m^{3}}{s^{3}}=
-26{,}3\,\text{W}\]
\end{enumerate}
}
