\ANG{
Gegeben sind die Punkte $\RPUNKT{A}{7}{5}{1}$, $\RPUNKT{B}{1}{8}{7}$ und 
$\RPUNKT{C}{5}{1}{5}$. 
\begin{enumerate}
\item Zeichne das Dreieck ABC in ein Schr"agbild.
\item Berechne den Winkel $\alpha=\angle\mathrm{BAC}$ und den Inhalt 
$A$ der Dreiecksfl"ache. Versuche, $A$ exakt zu berechnen (Wurzeln).
\item Der Punkt D hat die Koordinaten $\RPUNKT{D}{0}{d}{0}$. Bestimme $d$ so, dass 
$\VPFEIL{\mathrm{AD}}$ auf $\VPFEIL{\mathrm{AC}}$ senkrecht steht. 
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}\\[-2mm]
\EPSC{11rr3041}{9cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7} \PSFM{O}{O}
\PSFM{2}{$2$} \PSFM{A}{A} \PSFM{x1}{$x_1$} 
\PSFM{x2}{$x_2$} \PSFM{x3}{$x_3$}  \PSFM{hc}{$h_c$}
\PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{D}{D} \PSFM{al}{$\alpha$}   
}
\item $\D\vec{b}=\VPFEIL{\mathrm{AB}}=\RVEKTOR{r}{-6}{3}{6}$,\quad
$\D b=|\vec{b}|=\sqrt{6^2+3^2+6^2}=\sqrt{81}=9$\\[2mm]
$\D\vec{c}=\VPFEIL{\mathrm{AC}}=\RVEKTOR{r}{-2}{-4}{4}$,\quad
$\D c=|\vec{c}|=\sqrt{2^2+4^2+4^2}=\sqrt{36}=6$\\[2mm]
$\D\cos\alpha=\frac{\vec b\cdot\vec c}{bc}=
\frac{12-12+24}{9\cdot 6}=\frac{24}{6\cdot 9}=\frac{4}{9}\QDQ\alpha=63{,}61^\circ$\\[2mm]
$\D A=\frac 12 bc\sin\alpha=\frac{bc}2\sqrt{1-\cos^2\alpha}=
\frac{6\cdot 9}{2}\cdot\sqrt{\frac{65}{81}}=3\sqrt{65}\approx 24{,}19$
\item $\D\VPFEIL{\mathrm{AD}}\cdot\VPFEIL{\mathrm{AC}}=
  \RVEKTOR{c}{-7}{d-5}{-1}\cdot\RVEKTOR{r}{-2}{-4}{4}=14-4d+20-4=30-4d=0\QDQ
 d=\frac{15}2=7{,}5$
\end{enumerate}
}
