\ANG{
\begin{enumerate}
\item Beweise: Dreht man den Vektor $\D\vec{a}=\EVEKTOR{c}{a_{1}}{a_{2}}$ 
im Gegenuhrzeigersinn um den Winkel $\varphi$, dann erh"alt man den Vektor 
$\D\vec{b}=\EVEKTOR{c}{a_{1}\cos\varphi-a_{2}\sin\varphi}
{a_{1}\sin\varphi+a_{2}\cos\varphi}$.
\item Drehe den Vektor $\D\vec{a}=\EVEKTOR{c}{4}{3}$ im Gegenuhrzeigersinn um
  den Winkel $\varphi=60^{\circ}$.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Zun"achst zeigen wir, dass $|\vec{b}|=|\vec{a}|$:
\begin{align*}
 |\vec{b}|^{2} &= (a_{1}\cos\varphi-a_{2}\sin\varphi)^{2}+
  (a_{1}\sin\varphi+a_{2}\cos\varphi)^{2}=\\
 &=a_{1}^{2}\cos^{2}\varphi-2a_{1}a_{2}\sin\varphi\cos\varphi+
  a_{2}^{2}\sin^{2}\varphi+\\
  &\quad\qquad +a_{1}^{2}\sin^{2}\varphi+
  2a_{1}a_{2}\sin\varphi\cos\varphi+a_{2}^{2}\cos^{2}\varphi=\\
 &= a_{1}^{2}(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi)+
    a_{2}^{2}(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi)=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=|\vec a|^{2}  
\end{align*}
Wegen $|\vec x|\geqq 0$ folgt daraus $|\vec{b}|=|\vec{a}|$.

Aus
\[\vec a\cdot\vec
b=a_{1}^{2}\cos\varphi-a_{1}a_{2}\sin\varphi+
  a_{2}a_{1}\sin\varphi+a_{2}^{2}\cos\varphi=
  (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cos\varphi\] 
folgt mit $\varphi'=\angle(\vec a,\vec b)$:
\[\cos\varphi'=
  \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}=
  \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|^{2}}=
  \frac{(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cos\varphi}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}=
  \cos\varphi\QDQ \varphi'=\pm\varphi\]
$\vec b$ entsteht also tats"achlich durch eine Drehung um $\varphi$ aus 
$\vec a$. Wir m"ussen noch zeigen, dass es eine Drehung entgegen dem
Uhrzeigersinn ist. Dazu w"ahlen wir $\vec a$ parallel zur $x_{1}$-Achse:
\[\vec{a}=\EVEKTOR{c}{a_{1}}{0}\QDQ
\vec{b}=\EVEKTOR{c}{a_{1}\cos\varphi}{a_{1}\sin\varphi}
\]
Da f"ur $0<\varphi<90^{\circ}$ beide Koordinaten vob $\vec b$ positiv sind,
 handelt es sich tats"achlich um eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn.
\item \[\vec b=\EVEKTOR{c}{4\cos 60^{\circ}-3\sin 60^{\circ}}
{4\sin 60^{\circ}+3\cos 60^{\circ}}=
\EVEKTOR{c}{4\cdot\frac 12-3\cdot\frac 12\sqrt{3}}
{4\cdot\frac 12\sqrt{3}+3\cdot\frac 12}=
\EVEKTOR{c}{2-\frac 32\sqrt{3}}
{2\sqrt{3}+\frac 32}\approx\EVEKTOR{r}{-0{,}60}{4{,}96}\]
\end{enumerate}
}
