\ANG{
Beweise die {\sc Lagrange}sche Identit"at:
\[(\vec{\vphantom{b}a}\times\vec{b})^{2}=
\vec{\vphantom{b}a}\,^{2}\vec{b}\,^{2}-(\vec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b})^{2}\]
\vspace{-5mm}
} 
\LSG{
Mit $\D \vec{\vphantom{b}a}\,^{2}=|\vec{\vphantom{b}a}|^{2}$,
$\D \vec{\vphantom{b}b}\,^{2}=|\vec{\vphantom{b}b}|^{2}$,
$\varphi=\angle(\vec{\vphantom{b}a},\vec{b})$
 und 
$\D|\vec{\vphantom{b}a}\times\vec{b}|=
|\vec{\vphantom{b}a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\varphi$ folgt 
\begin{align*}
 (\vec{\vphantom{b}a}\times\vec{b})^{2}&= 
|\vec{\vphantom{b}a}\times\vec{b}|^{2}=
   |\vec{\vphantom{b}a}|\,^{2}\cdot|\vec{b}|^{2}\sin^{2}\varphi=
   |\vec{\vphantom{b}a}|\,^{2}\cdot|\vec{b}|^{2}(1-\cos^{2}\varphi)=\\
 &=|\vec{\vphantom{b}a}|\,^{2}\cdot|\vec{b}|^{2}-
   (|\vec{\vphantom{b}a}|\cdot|\vec{b}|\cos\varphi)^{2}=
\vec{\vphantom{b}a}\,^{2}\vec{b}\,^{2}-(\vec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b})^{2}
\end{align*}

}
