\ANG{
Ein rechteckiges Solarpaneel ist durch die Eckpunkte A, B, C und D mit 
A$(3|2|4)$, B$(6|8|4)$ und D$(1|3|6{,}5)$ gegeben. Alle Zahlenangaben
verstehen sich in Metern, wir rechnen aber, wenn nicht anders angegeben, ohne
Einheiten. Die $x_{1}$-Achse zeigt nach S"uden.
\begin{enumerate}
\item Berechne die Koordinaten von C und zeige, dass es sich bei dem
  Parallelogramm ABCD tats"achlich um ein Rechteck handelt. M sei der
  Diagonalenschnittpunkt des Rechtecks; berechne die Koordinaten von M.
\item Zeichne ein Schr"agbild des Rechtecks ABCD (Einheit: 1\,cm). Zeichne
  auch die senkrechte Projektion des Rechtecks in die $x_{1}x_{2}$-Ebene ein.
\item $E$ ist die Ebene, die A, B, C und D enth"alt. $\vec{n}$ ist ein
  Normalenvektor von $E$ mit dem Betrag $n=|\vec{n}|=6$, der nach oben und
  S"uden zeigt. Berechne die Koordinaten von $\vec{n}$ und die Koordinaten des
  Punktes N mit $\VPFEILRM{MN}=\vec{n}$. Zeichne $\vec{n}$ mit dem
  Anfangspunkt M in das schon vorhandene Koordinatensystem.
\item Der Vektor $\vec{s}=\RVEKTOR{r}{2}{3}{6}$ zeigt von M in Richtung Sonne.
  Zeichne $\vec{s}$ in das Schr"agbild ein und berechne den Winkel $\sigma$
  zwischen $\vec{s}$ und $\vec{n}$.
\item Die elektrische Leistung unseres Solarpaneels bei unbedecktem Himmel ist
  \[P=kA_{\text{s}}\cdot\vec{n}_{0}\cdot\vec{s}_{0}\quad\text{mit}\quad
      k=0{,}11\,\RFRAC{kW}{m^{2}}\]
  Dabei sind $\vec{n}_{0}$ und $\vec{s}_{0}$ die Einheitsvektoren von
  $\vec{n}$ und $\vec{s}$ und $A_{\text{s}}$ ist die Fl"ache des
  Solarpaneels. Berechne $P$ (jetzt mit Einheiten rechnen).
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\VPFEILRM{BC}=\VPFEILRM{AD}=\RVEKTOR{r}{-2}{1}{2{,}5}$,\quad
$\D\VPFEILRM{AB}=\RVEKTOR{r}{3}{6}{0}$,\quad
$\D\VPFEILRM{C}=\VPFEILRM{B}+\VPFEILRM{BC}=\RVEKTOR{l}{4}{9}{6{,}5}
\QDQ\text{C}(4|9|6{,}5)$\\[2mm]
$\D\VPFEILRM{AB}\cdot\VPFEILRM{AD}=3\cdot(-2)+6\cdot 1+0\cdot 2{,}5=0
\QDQ\angle\text{BAD}=90^{\circ}$, also Rechteck.\\[2mm]
$\D\VPFEILRM{M}=\VPFEILRM{A}+\frac 12\cdot\VPFEILRM{AC}=
\RVEKTOR{l}{3}{2}{4}+\frac 12\cdot\RVEKTOR{l}{1}{7}{2{,}5}=
\RVEKTOR{l}{3{,}5}{5{,}5}{5{,}25}
\QDQ\text{M}(3{,}5|5{,}5|5{,}25)$
\item \mbox{} 
\EPSC{11rr2911}{9cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{6}{6} \PSFM{9}{9} \PSFM{x1}{$x_{1}$} 
\PSFM{x2}{$x_{2}$} \PSFM{x3}{$x_{3}$} \PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B}
\PSFM{C}{C} \PSFM{D}{D} \PSFM{N}{N} \PSFM{S}{S} 
\PSFM{n}{$\vec{n}$} \PSFM{s}{$\vec{s}$} \PSFM{M}{M} \PSFM{}{} 
}
\item $\D\vec{n}'=\VPFEILRM{AB}\times\VPFEILRM{AD}=\left|
    \begin{array}[c]{ccc}
      \vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} & \vec{e}_{3}\\
    3 & 6 & 0\\
    -2 & 1 & 2{,}5
    \end{array}
\right|=\RVEKTOR{c}{6\cdot 2{,}5-0}{0-3\cdot 2{,}5}{3\cdot 1-6\cdot(-2)}=
\RVEKTOR{r}{15}{-7{,}5}{15}=7{,}5\cdot\RVEKTOR{r}{2}{-1}{2}$\\[2mm]
$|\vec{n}'|=7{,}5\cdot\sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}}=7{,}5\cdot 3=22{,}5$,\quad
$\D\vec{n}_{0}=\frac{\vec{n}'}{|\vec{n}'|}=\frac
13\cdot\RVEKTOR{r}{2}{-1}{2}$\\[2mm] 
$\vec{n}=6\vec{n}_{0}=\RVEKTOR{r}{4}{-2}{4}$,\quad
$\D\VPFEILRM{N}=\VPFEILRM{M}+\vec{n}=\RVEKTOR{l}{3{,}5}{5{,}5}{5{,}25}+
\RVEKTOR{r}{4}{-2}{4}=\RVEKTOR{l}{7{,}5}{3{,}5}{9{,}25}$
\item $\D\VPFEILRM{S}=\VPFEILRM{M}+\vec{s}=\RVEKTOR{l}{3{,}5}{5{,}5}{5{,}25}+
\RVEKTOR{r}{2}{3}{6}=\RVEKTOR{c}{5{,}5}{8{,}5}{11{,}25}
\QDQ \text{S}(5{,}5|8{,}5|11{,}25)$\\[2mm]
$\D \vec{s}_{0}=\frac{\vec{s}}{|\vec{s}|}=\frac
17\cdot\RVEKTOR{r}{2}{3}{6}$,\quad
$\D\cos\sigma=\frac{\vec{n}\cdot\vec{s}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{s}|}=
\vec{n}_{0}\cdot\vec{s}_{0}=\frac{2\cdot 2+(-1)\cdot 3+2\cdot 6}{21}=
\frac{13}{21}$
\[\sigma=51{,}75^{\circ}\]
\item $\D \frac{A_{\text{s}}}{\mathrm{m^{2}}}=|\VPFEILRM{AB}|\cdot|\VPFEILRM{AD}|=
3\sqrt{5}\cdot\frac 32\sqrt{5}=22{,}5\QDQ$
\[P=0{,}11\,\RFRAC{kW}{m^{2}}\cdot 22{,}5\,\mathrm{m^{2}}\cdot \frac{13}{21}=
\frac{429}{280}\,\text{kW}=1{,}53\,\text{kW}\]
\end{enumerate}
}
