\ANG{
Ein parallelogrammf"ormiges Hanggrundst"uck ist durch die Eckpunkte A, B, C
und D mit A$(60|50|20)$, B$(70|110|7{,}5)$ und D$(0|10|55)$ gegeben. Alle Zahlenangaben
verstehen sich in Metern, wir rechnen aber, wenn nicht anders angegeben, ohne
Einheiten. Die $x_{1}$-Achse zeigt nach S"uden.
\begin{enumerate}
\item Berechne die Koordinaten von C und zeige, dass es sich bei dem
  Parallelogramm ABCD nicht um ein Rechteck handelt. M sei der
  Diagonalenschnittpunkt des Parallelogramms; berechne die Koordinaten von M.
\item Zeichne ein Schr"agbild des Parallelogramms ABCD (Einheit: 0,1\,cm). Zeichne
  auch die senkrechte Projektion des Rechtecks in die $x_{1}x_{2}$-Ebene ein.
\item $E$ ist die Ebene, die A, B, C und D enth"alt. $\vec{n}$ ist ein
  Normalenvektor von $E$ mit dem Betrag $n=|\vec{n}|=90$, der nach oben und
  S"uden zeigt. Berechne die Koordinaten von $\vec{n}$ und die Koordinaten des
  Punktes N mit $\VPFEILRM{MN}=\vec{n}$. Zeichne $\vec{n}$ mit dem
  Anfangspunkt M in das schon vorhandene Koordinatensystem.
\item Welchen Neigungswinkel $\varphi$ hat E gegen die $x_{1}x_{2}$-Ebene?
\item Berechne den Fl"acheninhalt $F$ des Grundst"ucks.
\item Das Grundst"uck soll in ein fl"achengleiches, quadratisches Grundst"uck
  umgewandelt werden (AB$'$C$'$D$'$), wobei die linke untere Ecke A erhalten
  bleiben soll und die untere Seite $[\text{AB}']$ horizontal verl"auft, also
  parallel zur $x_{1}x_{2}$-Ebene ist. Berechne zuerst die Vektoren
  $\vec{p}=\VPFEILRM{AB'}$ und $\vec{s}=\VPFEILRM{AD'}$ und dann die
  Koordinaten von B$'$, C$'$ und D$'$. Zeichne das neue Grundst"uck in das
  Schr"agbild ein.

\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\VPFEILRM{BC}=\VPFEILRM{AD}=\RVEKTOR{r}{-60}{40}{35}$,\quad
$\D\VPFEILRM{AB}=\RVEKTOR{c}{10}{60}{-12{,}5}$,\quad
$\D\VPFEILRM{C}=\VPFEILRM{B}+\VPFEILRM{BC}=\RVEKTOR{c}{10}{70}{42{,}5}
\QDQ\text{C}(10|70|42{,}5)$\\[2mm]
$\D\VPFEILRM{AB}\cdot\VPFEILRM{AD}=-600+2400-437{,}5=1362{,}5\neq 0
\QDQ\angle\text{BAD}\neq 90^{\circ}$, also kein Rechteck.\\[2mm]
$\D\VPFEILRM{M}=\VPFEILRM{A}+\frac 12\cdot\VPFEILRM{AC}=
\RVEKTOR{l}{60}{50}{20}+\frac 12\cdot\RVEKTOR{c}{-50}{20}{22{,}5}=
\RVEKTOR{c}{35}{60}{31{,}25}
\QDQ\text{M}(35|60|31{,}25)$
\item \mbox{} 
\EPSC{11rr2921}{9cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{6}{6} \PSFM{9}{9} \PSFM{x1}{$x_{1}$} 
\PSFM{x2}{$x_{2}$} \PSFM{x3}{$x_{3}$} \PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B}
\PSFM{C}{C} \PSFM{D}{D} \PSFM{N}{N} \PSFM{S}{S} 
\PSFM{n}{$\vec{n}$} \PSFM{s}{$\vec{s}$} \PSFM{M}{M} 
\PSFM{Bs}{B$'$} \PSFM{Ds}{D$'$} \PSFM{Cs}{C$'$} 
}
\item $\D\vec{n}'=\VPFEILRM{AB}\times\VPFEILRM{AD}=\left|
    \begin{array}[c]{ccc}
      \vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} & \vec{e}_{3}\\
    10 & 60 & -12{,}5\\
    -60 & -40 & 35
    \end{array}
\right|=\RVEKTOR{c}{60\cdot 35-12{,}5\cdot 40}
{12{,}5\cdot 60-10\cdot 35}{-10\cdot 40+60\cdot 60}$
\[\vec{n}'=
\RVEKTOR{r}{1600}{400}{3200}=400\cdot\RVEKTOR{r}{4}{1}{8}\]
$|\vec{n}'|=400\cdot\sqrt{4^{2}+1^{2}+8^{2}}=400\cdot 9=3600$,\quad
$\D\vec{n}_{0}=\frac{\vec{n}'}{|\vec{n}'|}=\frac{1}{9}\cdot\RVEKTOR{r}{4}{1}{8}$\\[2mm] 
$\vec{n}=90\cdot\vec{n}_{0}=\RVEKTOR{r}{40}{10}{80}$,\quad
$\D\VPFEILRM{N}=\VPFEILRM{M}+\vec{n}=\RVEKTOR{l}{35}{60}{31{,}25}+
\RVEKTOR{r}{40}{10}{80}=\RVEKTOR{c}{75}{70}{111{,}25}$
\item $\varphi$ ist der Winkel, um den $\vec{n}$ von der Vertikalen abweicht,
  also der Winkel zwischen $\vec{n}$ und $\vec{e}_{3}$:
\[\cos\varphi=\vec{n}_{0}\cdot\vec{e}_{3}=\frac 89\QDQ
\varphi=27{,}27^{\circ}\]
\item $\D F=|\VPFEILRM{AB}|\cdot|\VPFEILRM{AD}|\cdot\sin\alpha=
|\VPFEILRM{AB}\times\VPFEILRM{AD}|=|\vec{n}'|=3600$
\item Aus $F=3600$ folgt $|\vec{p}|=|\vec{s}|=60$.  
Aus $\D\vec{p}\bot\vec{n}$ und $p_{3}=0$ folgt 
\[\vec{p}\cdot\vec{n}=40p_{1}+10p_{2}=0\QDQ p_{2}=-4p_{1}\QDQ
\vec{p}=\RVEKTOR{c}{p_{1}}{-4p_{1}}{0}\]
\[|\vec{p}|^{2}=p_{1}^{2}+16p_{1}^{2}=3600\QDQ p_{1}=\pm\frac{60}{\sqrt{17}}\]
Aus den Zusatzbedingungen folgt:
\[\vec{p}=\frac{60}{\sqrt{17}}\RVEKTOR{c}{-1}{4}{0}\]
Wegen der Forderung \GF{Quadrat} muss $\vec{s}$ auf $\vec{p}$ senkrecht stehen
und wegen $\vec{s}$ parallel zur Ebene E muss $\vec{s}$ auf $\vec{n}$
senkrecht stehen: 
\[\vec{s}=60\cdot\vec{n}_{0}\times\vec{p}_{0}=
\frac{60}{9\sqrt{17}}\RVEKTOR{r}{4}{1}{8}\times\RVEKTOR{r}{-1}{4}{0}=
\frac{20}{3\sqrt{17}}\RVEKTOR{r}{-32}{-8}{17}\approx
\RVEKTOR{r}{-51{,}74}{-12{,}94}{27{,}49}\]
\[\VPFEILRM{B}'=\VPFEILRM{A}+\vec{p}=\RVEKTOR{r}{45{,}45}{108{,}21}{20{,}00},\quad
\VPFEILRM{C}'=\VPFEILRM{B}'+\vec{s}=\RVEKTOR{r}{-6{,}29}{95{,}27}{47{,}49},\quad
\VPFEILRM{D}'=\VPFEILRM{A}+\vec{s}=\RVEKTOR{r}{8{,}26}{37{,}06}{47{,}49}\]
\end{enumerate}
}
