\ANG{
F"ur eine Weltausstellung wird ein gigantischer Globus aufgebaut. Die
folgenden Zahlenangaben verstehen sich in Metern, rechne aber ohne Einheiten.
Der kugelf"ormige Globus hat den Mittelpunkt M$(-12|10|9)$ und den Radius
$r=17$, mit $k$ bezeichnen wir die Menge aller Punkte der Kugeloberfl"ache. 
Der Boden liegt in der $x_{1}x_{2}$-Ebene.
\begin{enumerate}
\item Stelle die Gleichung f"ur $k$ in der Koordinatenform auf und berechne
  die Koordinaten der Schnittpunkte A und B von $k$ mit der $x_{2}$-Achse 
  (A liegt n"aher am Ursprung O als B).

[Zur Kontrolle: A$(0|2|0)$, B$(0|18|0)$]
\item Der "Aquator der Kugel verl"auft durch die Punkte A und B, Der Nordpol N
  liegt oben (also nicht unter dem Boden). Verwende die Vektoren
  $\vec{a}=\VPFEILRM{MA}$ und $\vec{b}=\VPFEILRM{MB}$, um die Koordinaten von
  N zu berechnen. 
\item Wie lang ist der k"urzeste Weg auf der Kugel, der von A nach B f"uhrt?
\item Die Platzmiete f"ur den Globus richtet sich nach seiner
  Standfl"ache. Berechne diese Schnittfl"ache der Kugel mit der
  $x_{1}x_{2}$-Ebene.
\item Der Standort des Globusses auf der Erde ist als Punkt C auf dem Globus
  markiert. C liegt auf dem Meridian von N nach B und hat die n"ordliche Breite
  $\beta=60^{\circ}$. Berechne die Koordinaten von C.

Hinweis:\quad\parbox[t]{12cm}{Stelle die vor, dein Blatt Papier liegt in der durch B, N und C
gegebenen Ebene. Zeichne die Vektoren $\vec{b}=\VPFEILRM{MB}$, 
$\vec{n}=\VPFEILRM{MN}$ und $\vec{c}=\VPFEILRM{MC}$ ein 
(w"ahle f"ur diese "Uberlegungsfigur $r\,\widehat{=}\,5\,\text{cm}$) 
und stelle $\vec{c}$ durch $\vec{b}$ und $\vec{n}$ dar.} 
\item Stelle alle gegebenen und berechneten Punkte und Vektoren in einem
  Schr"agbild mit der Einheit 0,5\,cm dar. 
%Platzbedarf:
%\begin{tabular}[c]{ccc}
%   & 13 & \\
%$-2$ & O & 12\\
%  & $-1$ & 
%\end{tabular}
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item  Kugelgleichung: $k:\quad
(x_{1}+12)^{2}+(x_{2}-10)^{2}+(x_{3}-9)^{2}=17^{2}$\\[2mm]
$k\cap x_{2}$-Achse: $x_{1}=x_{3}=0\QDQ
12^{2}+(x_{2}-10)^{2}+9^{2}=17^{2}$
\[x_{2}=10\pm 8\QDQ \text{A}(0|2|0)\text{ und }\text{B}(0|18|0)\]
\item $\D\VPFEILRM{MA}=\RVEKTOR{r}{12}{-8}{-9}$ und 
$\D\VPFEILRM{MB}=\RVEKTOR{r}{12}{8}{-9}\QDQ$
\[\vec{n}'=\VPFEILRM{MA}\times\VPFEILRM{MB}=
\RVEKTOR{c}{8\cdot 9+8\cdot 9}{-9\cdot 12+9\cdot 12}{8\cdot 12+8\cdot 12}=
\RVEKTOR{c}{144}{0}{192}=48\RVEKTOR{c}{3}{0}{4}\]
\[\vec{n}_{0}=\frac{\vec{n}'}{|\vec{n}'|}=\frac{1}{5}\RVEKTOR{c}{3}{0}{4}=
\RVEKTOR{c}{0{,}6}{0}{0{,}8},\quad
\vec{n}=17\vec{n}_{0}=\frac{1}{5}\RVEKTOR{c}{51}{0}{68}=
\RVEKTOR{c}{10{,}2}{0}{13{,}6}\]
\[\vec{N}=\vec{M}+\vec{n}=\RVEKTOR{r}{-1{,}8}{10{,}0}{22{,}6}\]
\item $\D\cos\alpha=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=
\frac{161}{289}\QDQ\alpha=0{,}9799=56{,}14^{\circ}\QDQ s=r\alpha=16{,}66$
\item $\D \text{M}'(-12|10|0)\QDQ 
r'\,^{2}=\overline{\mathrm{M'B}}^{2}=12^{2}+8^{2}=208\QDQ 
A=r'\,^{2}\pi=653{,}5$
\item \EPSR{10cm}{11rr2942}{3cm}{}{
\PSFM{N}{N} \PSFM{M}{M} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{N}{N}
\PSFM{ga}{$60^{\circ}$} \PSFM{N}{N} \PSFM{r}{r} 
}{
$\D\vec{c}=\VPFEILRM{MC}=
r\cos 60^{\circ}\cdot\frac{\vec{b}}{r}+r\sin 60^{\circ}\cdot\frac{\vec{n}}{r}$
\[\vec{c}=\frac 12\vec{b}+\frac 12\sqrt 3\vec{n}=
\RVEKTOR{c}{6}{4}{-4{,}5}+\frac{\sqrt{3}}{10}\RVEKTOR{c}{51}{0}{68}\approx
\RVEKTOR{c}{14{,}8}{4}{7{,}3}\]
\[\vec{C}=\vec{M}+\vec{c}\approx\RVEKTOR{r}{2{,}8}{14{,}0}{16{,}3}\]
}
\item\mbox{} 
\EPSC{11rr2941}{10cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{N}{N} \PSFM{M}{M} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} 
\PSFM{x1}{$x_{1}$} \PSFM{x2}{$x_{2}$} \PSFM{x3}{$x_{3}$} 
\PSFM{10}{10} \PSFM{20}{20} \PSFM{18}{18} \PSFM{m12}{$-12$} 
\PSFM{c}{$\vec{c}$} \PSFM{n}{$\vec{n}$} \PSFM{al}{$\alpha$} 
\PSFM{O}{O} \PSFM{a}{$\vec{a}$} \PSFM{b}{$\vec{b}$}    
}
\end{enumerate}
}
