\ANG{
$k$ ist die Menge aller Punkte der Kugelfl"ache um M$(-9|6|6)$ mit dem Radius
$r=11$. Die Schnittpunkte von $k$ mit der $x_{1}$-Achse sind $\text{A}_{1}$
und $\text{A}_{2}$, mit der $x_{2}$-Achse $\text{B}_{1}$ und $\text{B}_{2}$
und mit der $x_{3}$-Achse $\text{C}_{1}$ und $\text{C}_{2}$, wobei die Punkte
mit dem Index 1 jeweils n"aher am Ursprung O liegen.
\begin{enumerate}
\item Berechne die Koordinaten von $ \text{A}_{1}$, $\text{A}_{2}$, 
$\text{B}_{1}$, $\text{B}_{2}$, $\text{C}_{1}$ und $\text{C}_{2}$.
\item Die Ebene $E$ ist durch die Punkte $\text{A}_{2}$, $\text{B}_{2}$ und M
  festgelegt ("Aquatorebene der Kugel). N (Nordpol) und S (S"udpol) sind die
  Punkte auf der Kugel, die von $E$ den gr"o"sten Abstand haben. Berechne die
  Koordinaten von N und S.
\item Stelle M, die Kugelschnittpunkte mit den Achsen und N in einem
  Schr"agbild dar (Einheit: 1\, cm). 
Platzbedarf:
\begin{tabular}[c]{ccc}
   & 13 & \\
$-2$ & O & 12\\
  & $-1$ & 
\end{tabular}
\item Berechne den Fl"acheninhalt des Schnittkreises $k_{12}$ der Kugel mit der
  $x_{1}x_{2}$-Ebene und gib die Gleichung von $k_{12}$ an.
\item Berechne die L"ange des k"urzesten Weges auf der Kugelfl"ache von
  C$_{1}$ nach B$_{2}$.
\item F"ur welche $x_{3}$ gilt P$(-7|-3|x_{3})\in k$?
\item Liegt Q$(1|6|1)$ innerhalb der Kugel $k$?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Kugelgleichung: $k:\quad
  (x_{1}+9)^{2}+(x_{2}-6)^{2}+(x_{3}-6)^{2}=11^{2}$\\[2mm]
$k\cap x_{1}$-Achse: $x_{2}=x_{3}=0\QDQ
(x_{1}+9)^{2}+6^{2}+6^{2}=11^{2}$
\[x_{1}=-9\pm 7\QDQ \text{A}_{1}(-2|0|0)\text{ und }\text{A}_{2}(-16|0|0)\]
$k\cap x_{2}$-Achse: $x_{1}=x_{3}=0\QDQ
9^{2}+(x_{2}-6)^{2}+6^{2}=11^{2}$
\[x_{2}=6\pm 2\QDQ \text{B}_{1}(0|4|0)\text{ und }\text{B}_{2}(0|8|0)\]
$k\cap x_{3}$-Achse: $x_{1}=x_{2}=0\QDQ
9^{2}+6^{2}+(x_{3}-6)^{2}=11^{2}$
\[x_{3}=6\pm 2\QDQ \text{C}_{1}(0|0|4)\text{ und }\text{C}_{2}(0|0|8)\]
\item $\VPFEILRM{MA}_{2}=\RVEKTOR{r}{-7}{-6}{-6},\quad
\VPFEILRM{MB}_{2}=\RVEKTOR{r}{9}{2}{-6}$,\quad
$\vec{n}'=\VPFEILRM{MA}_{2}\times\VPFEILRM{MB}_{2}=
\RVEKTOR{r}{48}{-96}{40}=8\RVEKTOR{r}{6}{-12}{5}$
\[\vec{n}_{0}=\frac{\vec{n}'}{|\vec{n}'|}=\frac{8}{\sqrt{205}}\RVEKTOR{r}{6}{-12}{5},
\vec{n}=11\vec{n}_{0}=\frac{88}{\sqrt{205}}\RVEKTOR{r}{6}{-12}{5}\approx
\RVEKTOR{r}{4{,}61}{-9{,}22}{3{,}84}\]
\[\vec{N}=\vec{M}+\vec{n}\approx\RVEKTOR{r}{-4{,}39}{-3{,}22}{9{,}84},\quad
\vec{S}=\vec{M}-\vec{n}\approx\RVEKTOR{r}{-13{,}6}{15{,}2}{2{,}16}\]
\item \mbox{}\\
\EPSC{11rr2951}{8cm}{}{
\PSFM{A1}{A$_{1}$} \PSFM{B1}{B$_{1}$} \PSFM{C1}{C$_{1}$} 
\PSFM{A2}{A$_{2}$} \PSFM{B2}{B$_{2}$} \PSFM{C2}{C$_{2}$}
\PSFM{M}{M} \PSFM{1}{1} \PSFM{m9}{$-9$} \PSFM{6}{6}
\PSFM{x1}{$x_{1}$} \PSFM{x2}{$x_{2}$} \PSFM{x3}{$x_{3}$}
\PSFM{N}{N} \PSFM{n}{$\vec{n}$} \PSFM{O}{O} \PSFM{fi}{$\varphi$}    
}
\item M$_{12}(-9|6|0)$ ist der Fu"spunkt des Lotes von M auf die
  $x_{1}x_{2}$-Ebene und der Mittelpunkt von $k_{12}$.\\[2mm] 
$\VPFEILRM{M_{12}B}_{2}=\RVEKTOR{r}{9}{2}{0}$,\quad 
$r_{12}=\overline{\mathrm{M_{12}B_{2}}}=\sqrt{85}$,\quad 
$A_{12}=r_{12}^{2}\pi=85\pi$\\[2mm]
$k_{2}:\quad (x_{1}+9)^{2}+(x_{2}-6)^{2}=85$
\item $\VPFEILRM{MC}_{1}=\RVEKTOR{r}{9}{-6}{-2}$,\quad 
$\D\cos\varphi=\frac{\VPFEILRM{MC}_{1}\cdot\VPFEILRM{MB}_{2}}
{|\VPFEILRM{MC}_{1}|\cdot|\VPFEILRM{MB}_{2}|}=\frac{81}{121}\QDQ
\varphi=0{,}8374=47{,}98^{\circ}$
\[s=r\varphi=9{,}211\]
\item P$(-7|-3|x_{3})\in k\QDQ 2^{2}+9^{2}+(x_{3}-6)^{2}=11^{2}\QDQ x_{3}\in\{0;\,12\}$
\item $\VPFEILRM{MQ}=\RVEKTOR{r}{10}{0}{-5}\QDQ
\overline{\text{MQ}}=5\sqrt{5}\approx 11{,}18>r\QDQ\text{ nein}$
\end{enumerate}
}
