\ANG{
Ein Gew"achshaus besteht aus einer durchsichtigen Halbkugel aus Kunststoff mit
dem Radius $r=5$. Der Ursprung des Koordinatensystems ist der Mittelpunkt der
Halbkugel, der Boden ist die $x_{1}x_{2}$-Ebene. Aus Gr"unden des
Vogelschutzes sind Umrissbilder von V"ogeln auf 
die Kuppel geklebt worden. Eines befindet sich bei A$(4{,}8|0|a_{3})$, ein
anderes bei B$(0|b_{2}|4)$. Alle Koordinaten verstehen sich in
Metern. Rechne aber, au"ser in Teilaufgabe (b), ohne Einheiten.
\begin{enumerate}
\item Stelle die Gleichung der Halbkugel $k$ auf und berechne die fehlenden
  Koordinaten von A und B. Ein weiteres Umrissbild 
  befindet sich am Ort C, wobei $\vec{C}$ auf $\vec{A}$ und auf $\vec{B}$
  senkrecht steht. Berechne die Koordinaten von $\vec{C}$.
\item Eine Schnecke kriecht auf der Kuppel auf dem k"urzesten Weg von A nach
  B. Wie lange braucht sie dazu, wenn sie in einer Minute 15\,cm zur"ucklegt?
\item Die Richtung der parallel einfallenden Sonnenstrahlen ist durch den
  Vektor $\vec{s}=\RVEKTOR{c}{3}{-2}{-6}$ gegeben. Berechne die Koordinaten
  des Schattens von Punkt B auf dem Boden.
\item Ein kugelf"ormiger Ballon mit dem Radius $r'=4$ ber"uhrt die
  Gew"achshauskuppel im Punkt D$(-{1{,}8}|4|d_{3})$. Mit $k'$ bezeichnen wir
  die Menge aller Punkte der Ballonh"ulle. Stelle die Gleichung f"ur
  $k'$ auf.
\item Zeichne alle gegebenen und berechneten Punkte und Vektoren in ein
  Schr"agbild.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $k:\quad x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5^{2}$ und $x_{3}\geqq 0$
\[\text{A}\in k\QDQ 4{,}8^{2}+0^{2}+a_{3}^{2}=25\QDQ a_{3}=\sqrt{1{,}96}=1{,}4\]
\[\text{B}\in k\QDQ 0^{2}+b_{2}^{2}+4^{2}=25\QDQ b_{2}=3\]
\[\vec{C}'=\vec{A}\times\vec{B}=
\RVEKTOR{r}{-1{,}4\cdot 3}{-4{,}8\cdot 4}{4{,}8\cdot 3}=
\RVEKTOR{r}{-4{,}2}{-19{,}2}{14{,}4}=
\frac 35\RVEKTOR{r}{-7}{-32}{24}\]
\[|\vec{C}'|=\frac 35\sqrt{7^{2}+32^{2}+24^{2}}=\frac 35\sqrt{1649}\]
\[\vec{C}=\frac{5}{|\vec{C}'|}\cdot\frac 35\RVEKTOR{r}{-7}{-32}{24}=
\frac{5}{\sqrt{1649}}\RVEKTOR{r}{-7}{-32}{24}=
\frac{5\sqrt{1649}}{1649}\RVEKTOR{r}{-7}{-32}{24}\approx
\RVEKTOR{r}{-0{,}862}{-3{,}94}{2{,}96}\]
\item $\D\cos\alpha=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}|\cdot|\vec{B}|}=
\frac{28}{125}=0{,}224\QDQ\alpha=1{,}3449=77{,}056^{\circ}\QDQ$
\[s=r\alpha=6{,}72\,\text{m}=672\,\text{cm}\QDQ 
t=\frac{672\,\text{cm}}{15\,\RFRAC{cm}{min}}=44{,}8\text{min}\]
\item $\D\vec{b}+\lambda\vec{s}=
\RVEKTOR{r}{0+3\lambda}{3-2\lambda}{4-6\lambda}=
\RVEKTOR{r}{b_{1}'}{b_{2}'}{0}\QDQ \lambda=\frac 23\QDQ
\vec{b}'=\RVEKTOR{r}{2}{\frac 53}{0}$
\item $\text{D}\in k\QDQ 1{,}8^{2}+4^{2}+d_{3}^{2}=25\QDQ d_{3}=2{,}4$ 
\[\vec{M}'=\vec{D}+\frac 45\vec{D}=\frac{9}{25}
\RVEKTOR{r}{-9}{4}{12}=\RVEKTOR{r}{-3{,}24}{7{,}2}{4{,}32}\]
\[k':\quad (x_{1}+3{,}24)^{2}+(x_{2}-7{,}2)^{2}+(x_{3}-4{,}32)^{2}=4^{2}\]
\item \EPSC{11rr2971}{14cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{D}{D} 
\PSFM{O}{O} \PSFM{M1}{M$_{1}$} \PSFM{x1}{$x_{1}$} \PSFM{x2}{$x_{2}$} 
\PSFM{x3}{$x_{3}$} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{6}{6} 
\PSFM{Bs}{B$'$} \PSFM{s}{$\vec{s}$} \PSFM{7}{7} \PSFM{Ms}{M$'$} 
}
\EPSC{11rr2973}{14cm}{}{}
\end{enumerate}
}





