\ANG{
$A$ und $B$ seien Mengen mit $|A|=a$ und $|B|=b$.
\begin{enumerate}
\item Wie viele Funktionen $f$ von $A$ in $B$ gibt es ($\DD_{f}=A$,
  $\WW_{f}\subseteq B$)?
\item Wie viele umkehrbare Funktionen von $A$ in $B$ gibt es? Welcher
  Bedingung m"ussen $a$ und $b$ in diesem Fall gen"ugen?
\item $\D B=\{1,2\},\quad C\subseteq A,\quad 
f_{C}:\,A\longrightarrow B\,:\,f_{C}(x)=
\begin{cases}
1 & \text{f"ur }x\in C\\
0 & \text{f"ur }x\notin C
\end{cases}$\\[2mm]
Verwende das Ergebnis von (a), um die M"achtigkeit der Potenzmenge 
${\cal P}(A)$ zu berechnen (${\cal P}(A)$ ist die Menge aller Teilmengen von $A$).
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Da $A$ und $B$ endlich sind, kann man schreiben:
\[A=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{a}\}\quad\text{und}\quad
  B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{b}\}\]
Jede Funktion $f: A\longrightarrow B$ mit $\DD_{f}=A$ ist eine Menge von
Wertepaaren der Form
\[f=\{(a_{1}|x_{1}),(a_{2}|x_{2}),\ldots ,(a_{a}|x_{a})\}\quad\text{mit}\quad
x_{i}\in B\]
$f$ ist also durch das $a$-Tupel $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{a})$ mit 
$x_{i}\in B$ eindeutig charakterisiert. Die gesuchte Zahl von Funktionen ist
also gleich der Zahl der verschiedenen $a$-Tupel. Da es f"ur jedes $x_{i}$
genau $b$ M"oglichkeiten gibt, ist die gesuchte Zahl
\[\text{GZ}(a,b)=b^{a}\]
$\text{GZ}(a,b)$ steht f"ur \GF{Zahl der geordneten Stichproben der L"ange $b$
  mit Zur"ucklegen aus einer $a$-Menge}.
\item Die Umkehrrelation $f^{-1}$ von $f$ ist
\[f^{-1}=\{(x_{1}|a_{1}),(x_{2}|a_{2}),\ldots ,(x_{a}|a_{a})\}\]
$f^{-1}$ ist nur dann eine Funktion, wenn alle $x_{i}$ verschieden sind.
Die gesuchte Zahl von umkehrbaren Funktionen ist also gleich der Zahl 
der verschiedenen $a$-Tupel mit lauter verschiedenen $x_{i}\in B$, d.h. 
es muss $b\geqq a$ sein:
\[\mathrm{G\overline{Z}}(a,b)=b\cdot(b-1)\cdot(b-2)\cdot\ldots\cdot(b-a+1)=
\frac{b!}{(b-a)!}\]
$\mathrm{G\overline{Z}}(a,b)$ steht f"ur \GF{Zahl der geordneten Stichproben
  der L"ange $b$ ohne Zur"ucklegen aus einer $a$-Menge}.
\item Zu jeder Teilmenge $C$ von $A$ gibt es eine Funktion $f_{C}$ und
  umgekehrt. Die Zahl der verschiedenen Funktionen $f_{C}$ ist also gleich der
  M"achtigkeit von ${\cal P}(A)$. Wegen $b=|B|=2$ folgt aus (a):
\[|{ \cal P}(A)|=2^{a}=2^{|A|}\]
\end{enumerate}
}
