\ANG{
F"ur das Folgende darf der Satz
\begin{center}
\fbox{\parbox[c]{10cm}{
F"ur paarweise disjunkte Mengen $A_{1}, A_{2},\ldots, A_{n}$ \\
(d.h. $A_{i}\cap A_{k}=\emptyset$ f"ur $i\neq k$) gilt
\[|A_{1}\cup A_{2}\cup\ldots\cup A_{n}|=|A_{1}|+|A_{2}|+\ldots +|A_{n}|\]
}}\quad(1)
\end{center}
als bekannt vorausgesetzt werden. Zeige zun"achst
\[\boxed{|X\OHNE Y|=|X|-|X\cap Y|}\quad(2)\]
und beweise dann den auch f"ur $A\cap B\neq\emptyset$ g"ultigen Satz
\[\boxed{|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|}\quad\text{(3)}\]
Veranschauliche dir zun"achst die Aussagen von (2) und (3) in Mengendiagrammen. 

Gilt die neue Formel (3) auch f"ur $A\cap B=\emptyset$?
} 
\LSG{
\EPSR{8cm}{11rr2991}{4cm}{}{
\PSFM{A}{$X$} \PSFM{B}{$Y$} \PSFM{AdB}{$X\cap Y$} 
\PSFM{AB}{$X\OHNE Y$} \PSFM{BA}{} 
}{
Aus $(X\cap Y)\cap (X\OHNE Y)=\emptyset$\\[2mm]
und $X= (X\OHNE Y)\cup(X\cap Y)$ folgt mit (1)\\[2mm]
$|X|=|X\OHNE Y|+|X\cap Y|$\\[2mm]
und damit (2).
}
\EPSR{8cm}{11rr2991}{4cm}{}{
\PSFM{A}{$A$} \PSFM{B}{$B$} \PSFM{AdB}{$A\cap B$} 
\PSFM{AB}{$A\OHNE B$} \PSFM{BA}{$B\OHNE A$} 
}{
Aus $(A\cap B)\cap (A\OHNE B)=\emptyset$\\[2mm]
und $(A\cap B)\cap (B\OHNE A)=\emptyset$\\[2mm]
und $(A\OHNE B)\cap (B\OHNE A)=\emptyset$\\[2mm]
und $(A\cup B)= (A\OHNE B)\cup(A\cap B)\cup(B\OHNE A)$\\[2mm] 
folgt mit (1)
}
\[|A\cup B|=|A\OHNE B|+|A\cap B|+|B\OHNE A|\]
und daraus mit (2)
\[|A\cup B|=\underbrace{|A|-|A\cap B|}_{|A\OHNE B|}+|A\cap B|+
\underbrace{|B|-|A\cap B|}_{|B\OHNE A|}=
|A|+|B|-|A\cap B|\]
F"ur $A\cap B=\emptyset$ ist (3) mit (1) identisch, also ja.
}
