\ANG{
Gegeben ist die Funktion $p(x)=x^2+c$.
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie allgemein die Gleichung der Tangente $t$ an $p(x)$
im Punkt P$(x_0|y_0)$.
\item Berechnen Sie allgemein die Gleichung der Normale zu $p(x)$
im Punkt P$(x_0|y_0)$.
\item Berechnen Sie allgemein den Schnittpunkt S$(t|0)$ dieser Normale mit
der $x$-Achse.
\item Berechnen Sie die Koordinaten Q$(x'|y')$ des Spiegelbildes von S an
$t(x)$.
\item Durchl"auft P alle Punkte der Parabel, so l"auft Q nat"urlich auch
auf einer Kurve. Zeichnen Sie diese Parameterkurve f"ur verschiedene
Werte von $c$ mit einer geeigneten Software. Welche verschiedenen Kurventypen
lassen sich unterscheiden? F"ur welche Werte von $c$ erwartet man einen Wechsel
des Kurventyps?
\item Belegen Sie Ihre Beobachtungen durch Rechnung.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $t(x)=2x_ox-x_0^2+c$
\item $n(x)=-\frac{1}{2x_0}x+\frac12+x_0^2+c$
\item $t=2x_0^3+x_0(1+2c)$
\item $x'=x_0-(t-x_0)=x_0(1-2c-2x_0^2)$, $y'=2x_0^2+2c$
\item $c<\frac12$: \GF{Schleife} (Relation), Schnittpunkt der beiden Zweige bei
$(0|1)$, Minimum bei $(0|2c)$\\
$c=\frac12$: Funktion ($\DD=\RR$), die bei $x=0$ nicht differenzierbar ist\\
$c>\frac12$: Funktion, die im Definitionsbereich $\DD=\RR$ differenzierbar ist,
Minimum bei $(0|2c)$

\item $x'=x_0(1-y')$ und $y'=2(x_0^2+c)\Rightarrow {x'}^2=(\frac12y'-c)(1-y')^2$\\
Wertebereich $\WW=[2c;\infty[$, Definitionsbereich $\DD=\RR$\\
Bilder der Punkte S$_1(x_0|0)$ und S$_2(-x_0|0)$: Beide Punkte liefern
$y'=2(x_0^2+c)$. Im Gegensatz dazu liefert S$_1$ den Wert $x'=x_0(1-y')$ und
S$_2$ den Wert $x'=-x_0(1-y')$. D.\ h.\ die Relation $(x'|y')$ ist
achsensymmetrisch zur $y$-Achse.\\

1.\ Fall: $c=\frac12$\\
$x'=-2x_0^3, y'=2x_0^2+1\Rightarrow y'=1+2^{\frac13}|{x'}^{\frac23}|$\\
Die Punkte Q$'(x'|y')$ beschreiben also eine
Funktion, die die $y$-Achse in Y$(0|1)$ schneidet. Dort ist die Funktion aber
nicht differenzierbar. F"ur $x'<0$ ($x'>0$) ist die Funktion streng monoton
fallend (steigend).\\

2.\ Fall: $c>\frac12$\\
Graph hat nur einen Schnittpunkt Y$(0|2c)$ mit der $y$-Achse.
Betrachte f"ur die weitere Diskussion die Umkehrrelation zur Ortskurve von Q:\\
$r(x)=\pm\sqrt{(\frac12x-c)(1-x)^2}, \ \ \ \ \DD=[2c,\infty[$:\\
$$r'(x)=\pm\frac{(1-x)(\frac12-\frac32x+2c)}{2|1-x|\sqrt{\frac12x-c}}$$
Der Graph von $r(x)$ hat bei $x=2c$ eine vertikale Tangente, also hat die
Ortskurve von Q bei $y'=2c$ eine waagrechte Tangente.\\
$r'(x)\not=0$ im gesamten Definitionsbereich
($2c<x'=\frac13+\frac{4c}{3}$ und $c>\frac12$ f"uhren zu einem Widerspruch!).
D.\ h.\ $r(x)$ hat keine waagrechte Tangente, also hat die Ortskurve von Q
keine vertikale Tangente.

3.\ Fall: $c<\frac12$\\
Graph hat zwei Schnittpunkte Y$_1(0|2c)$ und Y$_2(0|1)$ mit der $y$-Achse.\\
Nullstellen: $y'=0\Leftrightarrow x'=\pm\sqrt{-c}$, d.\ h.\ die Relation hat
f"ur $c=0$ die Nullstelle N$(0|0)$ und f"ur $c<0$ zwei Nullstellen
N$_{1/2}(\pm \sqrt{-c}|0)$\\
Betrachte f"ur die weitere Diskussion wieder die Umkehrrelation zur Ortskurve
von Q:
$r(x)=\pm\sqrt{(\frac12x-c)(1-x)^2},\quad \DD=[2c,\infty[$:\\
$$r'(x)=\pm\frac{(1-x)(\frac12-\frac32x+2c)}{2|1-x|\sqrt{\frac12x-c}}$$
Der Graph von $r(x)$ hat bei $x=2c$ eine vertikale Tangente, also hat die
Ortskurve von Q bei $y'=2c$ ($x'=0$) eine waagrechte Tangente.\\
$r'(x)=0$ f"ur $x=\frac13+\frac43c$. D.\ h.\ $r(x)$ hat f"ur diesen $x$-Wert eine
waagrechte Tangente, also hat die Ortskurve von Q bei $y=\frac13+\frac43c$
eine vertikale Tangente.
\end{enumerate}

Anregungen f"ur eine weitere Betrachtung der Kurven:\\
Berechnen Sie den Schnittwinkel der Schleife im Punkt $(0|1)$.\\
Berechnen Sie die Breite der Schleife in Abh"angigkeit von $c$.\\
Berechnen Sie den Kr"ummungsradius der Kurve in $(0|2c)$ in Abh"angigkeit von $c$.
}

Literatur: Meyer J., Von der Normalparabel zu kubischen Kurven in
Geometrie und Computer, Hischer H. (Hrsg.), Franzbecker, 1998

