\ANG{
Betrachten Sie ein Dreieck mit den Ecken A$(-a|b)$, B$(a|b)$ und C$(0|1)$,
dessen Ecken auf dem Einheitskreis mit Mittelpunkt M$(0|0)$ und Radius 1 liegen
($a\ge 0$).
\begin{enumerate}
\item Zeichnen Sie die Dreiecke f"ur $a=0{,}2;\ 0{,}5;\ 0{,}7$ ($1\,\equiv\, 5$cm).
\item Berechnen Sie allgemein die Fl"ache $A(\varphi)$ des Dreiecks. 
  Verwenden Sie zur Beschreibung den Winkel $\varphi$ zwischen MB und der 
  $x$-Achse ($\varphi<0$, wenn B oberhalb der $x$-Achse).
\item F"ur welchen Winkel ist die Fl"ache des Dreiecks maximal?\\
TIP: Verwenden Sie $\cos^2\varphi=1-\sin^2\varphi$ und den Satz von Vieta!
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item
\item $A(\varphi)=\cos\varphi\cdot (1+\sin\varphi)$, $\varphi\in [-90^{\circ};90^{\circ}]$
\item \begin{tabular}[t]{lcl}
$A'(\varphi)$&=&$-\sin\varphi\cdot (1+\sin\varphi)+\cos^2\varphi$\\
&=&$-\sin\varphi-\sin^2\varphi+1-\sin^2\varphi$\\
&=&$1-\sin\varphi-2\sin^2\varphi=(1-2\sin\varphi)(1+\sin\varphi)=0$
\end{tabular}
$\Leftrightarrow$\\
1.\ Fall: $\sin\varphi=-1$.\ F"ur $\sin\varphi=-1$ folgt $A(\varphi)=0$, also kein Maximum!\\
2.\ Fall: 
$\sin\varphi=\frac 12$ ($\Leftrightarrow \varphi=30^{\circ}$!).\\
Bei $\varphi=30^{\circ}$ liegt ein Maximum vor, da $A(0^{\circ})=1$, $A(90^{\circ})=0$ und
$A(30^{\circ})=\frac 34\,\sqrt{3}\ \approx\ 1{,}299$.
\end{enumerate}
}
