\ANG{
Bei der Fahrt von einer Haltestelle zur n"achsten Haltestelle l"asst sich
der zur"uckgelegte Weg einer U-Bahn durch folgende Funktion beschreiben:

$$s(t)=\left\{ \begin{array}{ccl}
                       0{,}5t^2, & \mbox{f"ur} & 0\le t< 12\\
                       0{,}2(t+18)^2-108 & \mbox{f"ur} &  12\le t< 35\\
                       21{,}2(t-35)+453{,}8& \mbox{f"ur} &  35\le t< 38\\
                       -0{,}48(t-60)^2+749{,}72& \mbox{f"ur} &  38\le t\le 60
                       \end{array}\right. $$

\begin{enumerate}
\item Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit.
\item Zeichnen Sie den Graphen von $s(t)$ f"ur $0\le t\le 60$.
\item Berechnen Sie abschnittsweise die erste Ableitung von $s(t)$
und untersuchen Sie die Ableitung auf Stetigkeit.
\item Zeichnen Sie den Graphen von $s'(t)$ f"ur $0\le t\le 60$.
\item Interpretieren Sie die Funktion $s'(t)$.
\item Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit im Bereich $0\le t\le 60$.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item
$\D s(12)=\lim_{t\to 12}s(12)=72$\\
$\D s(35)=\lim_{t\to 35}s(35)=453{,}8$\\
$\D s(38)=\lim_{t\to 38}s(38)=517{,}4$\\
$\D s(t)$ ist f"ur $0\le t\le 60$ stetig.
\item Graph von $s(t)$\\
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{11cm1110KE05_1a.png}
\item
$$s'(t)=\left\{ \begin{array}{ccl}
                       t, & \mbox{f"ur} & 0\le t< 12\\
                       0{,}4(x+18)-108 & \mbox{f"ur} &  12\le t< 35\\
                       21{,}2& \mbox{f"ur} &  35\le t< 38\\
                       -0{,}96(x-60)+749{,}72& \mbox{f"ur} &  38\le t\le 60
                       \end{array}\right. $$
$\D s'(12)=\lim_{t\to 12}s'(12)=12$\\
$\D s'(35)=\lim_{t\to 35}s'(35)=21{,}2$\\
$\D s'(38)=21{,}12\not= \lim_{t\to 38}s'(38)=21{,}2$\\
\item Graph von $s'(t)$\\
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{11cm1110KE05_1b.png}
\item Beschleunigte Bewegung im ersten und zweiten Zeitintervall,
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit im dritten Zeitintervall
und Bremsen im vierten Zeitintervall.\\
$s'(t)$ ist bei $t=38$ unstetig. Man kann dies als kleinen Ruck beim
Beginn des Abbremsens erkl"aren.
\item $\overline{v}=12{,}5\RFRAC{m}{s}$
\end{enumerate}
}
