\ANG{
Eine Funktion heißt gebrochen-rational, wenn sie durch einen Term der Form \\ [1.5ex]
$\mathrm{\D\frac{a_n x^n+...+a_1 x + a_0}{b_m x^m + ... b_1 x + b_0}}$\\ [1.5ex]
dargestellt werden kann und nicht ganzrational ist.\\
Geben Sie an, welche der folgenden Funktionsterme gebrochen-rationale Funktionen 
beschreiben und formen Sie diese in die oben angegebene Form um.
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{\D\frac{2x^2+x-1} 4}$
\item $\mathrm{\D\frac{x-2} x \cdot \frac{3+x} x}$
\item $\mathrm{\D\frac{2^x+x-1}{x+1}}$
\item $\mathrm{\D\frac 2 {x+3}}$
\item $\mathrm{\D\frac 1 x}$
\item $\mathrm{\D\frac {2 \left(x-1\right)^2}{(x+1)(x+2)}}$
\item $\mathrm{\D\frac 1 {2x-1} + 2x - 2}$
\item $\mathrm{\D\frac {2x^2-1}{x+3}}$
\item $\mathrm{\D\frac 1 {2x} - \frac {3-x}{x^2}}$
\end{enumerate} 
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Hierbei handelt es sich um den Term einer ganzrationalen Funktion: $\mathrm{\frac 12 x^2+ \frac 1 4 x- \frac 1 4}$
\item $\mathrm{\D\frac{x-2} x \cdot \frac{3+x} x = \frac{x^2+x-6}{x^2}}$
\item $\mathrm{\D\frac{2^x+x-1}{x+1}}$ enthält im Zähler mit $\mathrm{2^x}$ eine Exponentialfunktion, lässt sich also nicht in die
obige Darstellung umwandeln; ist also keine gebrochen-rationale Funktion.
\item $\mathrm{\D\frac 2 {x+3}}$ ist gebrochen rational und bereits in der korrekten Darstellung.
\item $\mathrm{\D\frac 1 x}$ ist gebrochen rational und bereits in der korrekten Darstellung.
\item $\mathrm{\D\frac {2 \left(x-1\right)^2}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x^2-4x+2}{x^2+3x+2}}$
\item $\mathrm{\D\frac 1 {2x-1} + 2x - 2 = \frac 1 {2x-1} + \frac {2x \cdot (2x-1)}{2x-1} - \frac {2 \cdot (2x-1)}{2x-1} = \frac {4x^2-6x+3}{2x-1}}$
\item $\mathrm{\D\frac {2x^2-1}{x+3}}$ ist gebrochen rational und bereits in der korrekten Darstellung.
\item $\mathrm{\D\frac 1 {2x} - \frac {3-x}{x^2} = \frac{x-2 (3-x)}{2x^2} = \frac{3x-6}{2x^2}}$
\end{enumerate}
}
