\ANG{
Die Abbildung  zeigt einen Ausschnitt des Graphen G der in $\mathrm{\RR \setminus \lbrace -3 \rbrace }$
definierten Funktion f mit $\mathrm{f(x) = x - 3 + \frac 5 {x+3} }$. G hat genau einen Tiefpunkt T.\\
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{11rr1120KE04_3a.png}\\
\begin{enumerate}
\item Die Geraden mit den Gleichungen $\mathrm{x=-3}$ und $\mathrm{y=x-3}$ haben eine 
besondere Bedeutung für G. Zeichnen Sie die beiden Geraden in die 
Abbildung ein und geben Sie diese Bedeutung an. Geben Sie zudem die 
Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden an.
\item Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G mit der y-Achse. 
Begründen Sie anhand des gegebenen Terms von f, dass G für $\mathrm{x>-3}$
oberhalb der Gerade mit der Gleichung $\mathrm{y=x-3}$ verläuft.
\item Weisen Sie nach, dass $\mathrm{f(x) = \D\frac{x^2-4}{x+3}}$ gilt,
indem Sie den Term $\mathrm{x-3+\frac 5 {x+3}}$ geeignet umformen, und begründen
Sie, dass f genau die Nullstellen $\mathrm{-2}$ und $\mathrm{2}$ hat.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2024, Teil A, erhöhtes Niveau, ohne Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Die Geraden sind Asymptoten von G. Schnittpunkt $\mathrm{\left(-3|-6\right)}$\\
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{11rr1120KE04_3b.png}\\
\item $\mathrm{f(0) = -3+\frac 5 3 = -\frac 4 3}$; Schnittpunkt mit der y-Achse $\mathrm{\left(0|-\frac 4 3 \right)}$\\
Für $\mathrm{x>-3}$ gilt $\mathrm{\frac 5 {x+3} > 0}$ und somit $\mathrm{f(x) = x - 3 + \frac 5 {x+3} > x-3}$.
\item $\mathrm{x-3+\frac 5 {x+3} = \D\frac{(x-3)(x+3)+5}{x+3} = \frac{x^2-9+5}{x+3} = \frac{x^2-4}{x+3}}$\\
$\mathrm{f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2-4 = 0 \Leftrightarrow x = -2 \lor x = 2}$
\end{enumerate}
}
