\ANG{
Betrachtet werden die Funktionen $\mathrm{f:x \mapsto \frac {2x}{x^2+x-6}}$ und $\mathrm{g: x \mapsto \frac{4 \, (x-1)(x+1)}{2 \, \left( x-2 \right)^2}}$
mit den maximalen Definitionsbereichen $\mathrm{D_f}$ und $\mathrm{D_g}$.
\begin{enumerate}
\item Geben Sie $\mathrm{D_f}$ und $\mathrm{D_g}$ an.
\item Um das Grenzverhalten der Funktion f für $\mathrm{x \to +\infty}$ und für $\mathrm{x \to -\infty}$ rechnerisch
zu ermitteln kann man mit dem folgenden Ansatz beginnen:\\[1.5ex]
$\mathrm{\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x^2+x-6} 
       = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac {x^2 \cdot \left(\frac 2 x\right)}{x^2 \cdot \left( 1+\frac 1 x  - \frac 6 {x^2}\right)} = ...}$\\[1.5ex]
Erläutern Sie kurz, warum diese Vorgehensweise sinnvoll ist, und führen Sie die begonnene Grenz-wertberechnung zu Ende. Berechnen Sie auch 
$\mathrm{\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)}$ sowie $\mathrm{\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)}$
\item h ist eine gebrochen-rationale Funktion, die als Bruch mit einem Polynom im Zähler und einem Polynom im Nenner dargestellt ist. Beschreiben Sie, 
welche Aussagen über das Grenzverhalten $\mathrm{x \to +\infty}$ und $\mathrm{x \to -\infty}$ allein anhand dieses Terms möglich sind.  
\item Ermitteln Sie jeweils das links- und rechtsseitige Grenzverhalten der beiden Funktionen f und g in der Umgebung ihrer Definitionslücken. 
\item Geben Sie anhand ihrer Ergebnisse in den Teilaufgaben b und d die Gleichungen aller Asymptoten der Graphen der Funktionen f und g an.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}

\item $\mathrm{D_f = \RR \setminus \lbrace -3;2 \rbrace}$, $\mathrm{D_g = \RR \setminus \lbrace 2 \rbrace}$

\item Da für $\mathrm{x \to +\infty}$ sowohl der Zähler als auch der Nenner des Terms $\mathrm{\frac{2x}{x^2+x-6}}$ gegen
$\mathrm{+\infty}$ streben, ist ohne weitere Überlegungen keine Aussage über $\mathrm{\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {2x}{x^2+x-6}}$ möglich.\\
Nach Ausklammern des Faktors $\mathrm{x^2}$ in Zähler und Nenner kann (für $\mathrm{x \ne 0}$) mit
$\mathrm{x^2}$ gekürzt werden und es ergibt sich $\mathrm{\lim\limits_{x \to +\infty}\frac {\overbrace{\frac 2 x}^{\to 0}}{\underbrace{1 + \frac 1 x - \frac 6 {x^2}}_{\to 1}} = 0}$, da
beim nun betrachteten Term der Zähler gegen 0 und der Nenner gegen 1 strebt.\\
Genauso erhält man $\mathrm{\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} \frac {\frac 2 x}{1 + \frac 1 x - \frac 1 {x^2}} = 0}$.\\[1.5ex]
$\mathrm{\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac {4 \, (x-1)(x+1)}{2 \,(x-2)^2} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac {4 x^2-4}{2 x^2 -8x+8}=
         \lim\limits_{x \to +\infty} \frac {x^2 \, \left( 4-\frac 4 {x^2}\right)}{x^2 \, \left( 2-\frac 8 x + \frac 8 {x^2}\right)}
		 =\lim\limits_{x \to +\infty} \frac {4-\frac 4{x^2}}{2-\frac 8 x + \frac 8 {x^2}} = \frac 4 2 = 2}$ da der Zähler des gekürzten Terms 4 und der Nenner dieses Terms gegen 2 strebt.

\item Wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist, konvergiert die Funktion für $\mathrm{x \to +\infty}$ und für
$\mathrm{x \to -\infty}$ und es gilt $\mathrm{\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0}$\\[1.5ex]
Wenn der Grad des Zählerpolynoms gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist, konvergiert die Funktion für $\mathrm{x \to +\infty}$ und für $\mathrm{x \to -\infty}$
und es gilt $\mathrm{\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = c}$.\\
Der Wert von c ergibt sich aus dem Quotienten der beiden Koeffizienten vor der jeweils höchsten Potenz von x in Zähler und Nenner.\\[1.5ex]
Wenn der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms ist, divergiert die Funktion für $\mathrm{x \to +\infty}$ und $\mathrm{x \to -\infty}$.

\item $\mathrm{\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 2^+} \frac {2x}{x^2+x-6} = +\infty}$, 
da der Zähler des betrachteten Terms gegen 4 und der Nenner mit positiven Werten gegen 0 strebt.\\[1.5ex] 
$\mathrm{\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = -\infty}$, 
da an der Stelle $\mathrm{x=2}$ eine Nullstelle des Nenners mit der Vielfachheit 1 und somit eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegt.\\[1.5ex]
$\mathrm{\lim\limits_{x \to -3^+} f(x) = \lim\limits_{x \to -3^+} \frac {2x}{x^2+x-6} = +\infty}$, 
da der Zähler des betrachteten Terms gegen -6 und der Nenner mit positiven Werten gegen 0 strebt.\\[1.5ex]
$\mathrm{\lim\limits_{x \to -3^-} f(x) = +\infty}$, 
da an der Stelle $\mathrm{x=-3}$ eine Nullstelle des Nenners mit der Vielfachheit 1 und somit eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegt.\\[1.5ex]
$\mathrm{\lim\limits_{x \to 2^+} g(x) = \lim\limits_{x \to 2^+} \frac {4 \, (x-1)(x+1)}{2 \,(x-2)^2} = +\infty}$ da der Zähler des betrachteten Terms gegen 12
und der Nenner mit positiven Werten gegen 0 strebt.\\[1.5ex]
$\mathrm{\lim\limits_{x \to 2^-} g(x) =  +\infty}$, da an der Stelle $\mathrm{x=2}$ eine Nullstelle des Nenners mit der Vielfachheit 2 und
somit eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vorliegt.

\item Gleichungen der Asymptoten des Graphen von f: $\mathrm{x = -3, \, x = 2}$ und $\mathrm{y = 0}$.\\
Gleichungen der Asymptoten des Graphen von g: $\mathrm{x=2}$ und $\mathrm{y = 2}$.
\end{enumerate}
}
