\ANG{
Geben Sie, sofern möglich, einen vollständig gekürzten Term einer gebrochen-rationalen Funktion f an, 
die bei maximalem Definitionsbereich die angegebenen Eigenschaften besitzt. 
Begründen Sie andernfalls, warum die Angabe eines derartigen Terms nicht möglich ist. 
\begin{enumerate}
\item Der Graph von f besitzt die Asymptoten $\mathrm{x=1}$ und $\mathrm{y=1}$.
\item Der Graph von f besitzt die Asymptoten $\mathrm{x=-2}$ und $\mathrm{x=+2}$.
\item Der Graph von f besitzt die Asymptoten $\mathrm{y=-2}$ und $\mathrm{y=+2}$.
\item Der Graph von f besitzt die Asymptoten $\mathrm{x=0}$ und $\mathrm{y=-\frac 1 2 x + 1}$.
\item f besitzt bei $\mathrm{x=1}$  eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel und divergiert für $\mathrm{x \to +\infty}$ und $\mathrm{x \to -\infty}$.
\item Der Graph von f besitzt eine waagrechte Asymptote und schneidet diese. 
\item Das Nennerpolynom des Terms besitzt den Grad 2 und der der Graph von f ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
\item Das Nennerpolynom des Terms besitzt den Grad 2 und der der Graph von f ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item z. B. $\mathrm{f(x) = \frac x {x-1}}$
\item z. B. $\mathrm{f(x) = \frac 1 {(x-2)(x+2)}}$
\item Nicht möglich: Der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion besitzt genau dann eine waagrechte Asymptote
  $\mathrm{y=c}$ mit $\mathrm{c \ne 0}$ , wenn Grad des Zählerpolynoms gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist. 
  Der Wert von c ergibt sich aus dem Quotienten der beiden Koeffizienten vor der jeweils höchsten Potenz 
  von x in Zähler und Nenner und ist somit eindeutig bestimmt.
  \item z. B. $\mathrm{f(x) = -\frac 1 2 x + 1 + \frac 1 x}$
  \item z. B. $\mathrm{f(x) = \frac {(x-1)^2} x}$ (1 ist eine doppelte Nullstelle des Zählers, Zählergrad größer Nennergrad)
  \item z. B. $\mathrm{f(x) = \frac {x-1}{x^2}}$ (hier ist die x-Achse die waagerechte Asymptote)
  \item z. B. $\mathrm{f(x) = \frac x {(x+1)(x-1)}, \, f(-x) = -f(x)}$
  \item z. B. $\mathrm{f(x) = \frac {x^2+1}{x^2}, \, f(-x) = f(x)}$
\end{enumerate}
}
