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\ANG{
{\bf Dunkelfeldforschung }

Ein Kriminologe m"ochte in einer Befragung (Stichprobe: $1000$ Personen) 
herausfinden, wie viel Prozent der Bundesb"urger bereits einmal einen 
Ladendiebstahl begangen haben. Da aber auf die direkte Frage ("`Haben Sie 
bereits einmal einen Ladendiebstahl begangen?"') vermutlich viele Befragte 
nicht ehrlich antworten w"urden, plant er folgendes Verfahren: Er legt jedem 
Befragten $10$ gleich aussehender K"artchen vor. Auf $4$ dieser K"artchen steht: 
"`Ist es richtig, dass Sie bereits einmal einen Ladendiebstahl begangen haben?"' 
Auf den $6$ anderen steht: "`Ist es richtig, dass Sie noch nie einen 
Ladendiebstahl begangen haben?"' Der Befragte zieht nun eines dieser K"artchen, 
ohne dass der Kriminologe dies sehen kann, und beantwortet die darauf stehende 
Frage wahrheitsgem"a"s (mit ja oder nein).
\begin{enumerate}
\item Wie l"asst sich anhand dieses Vorgehens der Anteil der B"urger sch"atzen, 
die schon einmal einen Ladendiebstahl begangen haben? 
\item Was "andert sich, wenn gleich viele von beiden Sorten K"artchen vorhanden 
sind?
\end{enumerate}
}
Quelle: MatheNetz 9 (2001)

\LSG{
Sei A: Die gezogene Frage wird bejaht\\
B: Es wurde Frage $1$ gezogen\\
C: Es wurde Frage $2$ gezogen\\
p: Anteil der B"urger, die schon einmal einen Ladendiebstahl begangen haben \\
Also: 	$P(B) = 0,4;\ P(C) = 0,6$  sowie  $P(A|B) = p;\ P(A|C) = 1-p$ \\
Mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit (oder elementar hergeleitet) 
folgt daher: \\
$P(A)=0,4 \cdot p + 0,6 \cdot (1-p) =0,6 -0,2 \cdot p \Leftrightarrow 
p= 3 - 5 \cdot P(A)$\\
Setzt man nun f"ur $P(A)$ die relative H"aufigkeit $h(A)$ der Ja-Antworten aus 
der Umfrage ein, kann man also den entsprechenden Anteil $p$ sch"atzen.
}
