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% 
\ANG{
{\bf Dopingproben (3)}

Wie viele Proben sind bei $1000$ Sportlern zu erwarten, wenn man aus 
langj"ahriger Erfahrung wei"s, dass $10\%\ (20\%,\ 30\%,\ \dots)$ aller Sportler 
Doping betreiben?
}
\LSG{
Zur Wahrscheinlichkeit von $10\%$ Baumdiagramm aus Aufgabe 1 mit 
Pfadwahrscheinlichkeiten:

\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{05mhtest007p1ah} 
\end{center}


Man hat also f"ur die $1000$ Personen in $500$ Testpaaren $(0,81 \cdot 1+0,09 
\cdot 2+0,1 \cdot 3)\cdot 500 = 645$ Tests zu erwarten, im Vergleich zu 
Einzeltests also eine deutliche Ersparnis.\\

Verallgemeinerung (f"ur p = $20\%,\ 30\%,\ \dots):$\\
Zu erwarten sind $[(1-p)^{2} \cdot 1+ (p-p^{2}) \cdot  2+p \cdot 3] \cdot 
500 = (-p^{2}+3p+1) \cdot 500$ Tests \\
(im Vergleich zu $1000$ Einzeltests).

\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{05mhtest007p2ah} 
\end{center}

}
