\ANG{
Gegeben ist die in IR definierte Funktion f mit $f(x) = \frac 3 {1000} \cdot x^4 - \frac 8 {100} \cdot x^3 + \frac 6 {10} \cdot x^2$.
Abbildung 1 zeigt den Graphen von f sowie den Punkt $P\left(0|-\frac 5 8\right)$. \\[1.2ex]
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{11rr1142KE04_3a.png}
\begin{enumerate}
\item Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von f an. Zeigen Sie rechnerisch, 
dass der Graph von f keine weiteren Extrempunkte besitzt.
\end{enumerate}
Die Tangente an den Graphen von f im Punkt $\left(5|f(5)\right)$ wird mit t bezeichnet.
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{1}
\item Ermitteln Sie eine Gleichung von t.
\item Skizzieren Sie in Abbildung 1 zwei von t verschiedene Tangenten an den Graphen
von f, die die y-Achse im Punkt P schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben.
\item Der Graph der in $\RR$ definierten Funktion g kann aus dem Graphen von f erzeugt
werden. Der Punkt $\left(12|12\right)$ des Graphen von g wird dabei aus dem Punkt 
$\left(10|10\right)$ des Graphen von f erzeugt und für alle $x \in \RR$ gilt $g(x) = a \cdot f\left(b \cdot x \right)$ mit
$a,b \in \RR^+$. \\
Geben Sie in diesem Zusammenhang die Bedeutung von a und b an und berechnen 
Sie die Werte von a und b.
\end{enumerate}
\\(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2024, Teil B, grundlegendes Niveau, mit WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $T\left(0|0\right)$ \\
$f'(x) = \frac {12}{1000} \cdot x^3 - \frac {24}{100} \cdot x^2 + \frac {12}{10} \cdot x$ \\
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x \cdot \left(x^2-20x+100 \right) = 0 \Leftrightarrow x \cdot \left(x-10\right)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = 10$\\
Nur bei 0 und 10 können Extrempunkte vorliegen.\\
An der Stelle 10 ändert sich das Vorzeichen von $f'(x)$ nicht; somit besitzt der Graph von f keine weiteren Extrempunkte.
\item 
$f'(5) = \frac 3 2$\\
$\frac {55} 8 = \frac 3 2 \cdot 5 + n \Leftrightarrow n = -\frac 5 8$ \\
$y = \frac 3 2 x - \frac 5 8$
\item Tangenten:\\
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{11rr1142KE04_3b.png}
\item
Der Graph von g wird durch Streckung in y-Richtung mit dem Faktor a und durch
Streckung in x-Richtung mit dem Faktor $\frac 1 b$ aus dem Graphen von f erzeugt.\\
$g(12) = a \cdot f\left(10\right) \Leftrightarrow 12 = a \cdot 10 \Leftrightarrow a = \frac 6 5$ \\
$\frac 1 b \cdot 10 = 12 \Leftrightarrow b = \frac 5 6$
\end{enumerate}
}